Beispiel (KL24_KP1_P02, Aufgabe 4 b1, KK S. 7): „Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 4 der 20 anwesenden Gäste ein Gratisessen gewinnen.“ (Gewinn je Drehung 25 %, unabhängig)

Lösungsweg:

1. \(X\) … Anzahl der Gäste mit Gratisessen, binomialverteilt mit \(n=20\), \(p=0{,}25\).
2. Übersetzen: mindestens 4 → \(P(X\ge 4)=1-P(X\le 3)\).
3. GeoGebra: Wahrscheinlichkeitsrechner → Binomial, n = 20, p = 0.25, rechtsseitig \(P(4\le X)\) – oder 1-BinomialDist(20,0.25,3,true).
4. Ergebnis: \(0{,}7748\ldots\approx 77{,}5\,\%\).

Merke: genau k → BinomialDist(n,p,k,false), höchstens k → BinomialDist(n,p,k,true), mindestens k → 1-BinomialDist(n,p,k-1,true).

So sagst du es mündlich: „X ist die Anzahl der Gäste, die gewinnen. Die Binomialverteilung passt, weil es 20 unabhängige Drehungen mit immer derselben Gewinnwahrscheinlichkeit 0,25 und nur Gewinn oder Nicht-Gewinn gibt. Mindestens 4 ist das Gegenereignis von höchstens 3 – das ergibt rund 77,5 %.“

Typischer Fehler: 1-BinomialDist(20,0.25,4,true) – dann fehlt X = 4 (falsche 58,5 %). Das „1 −“ vergessen ergibt „höchstens 3“ (22,5 %). Auch beliebt: 25 statt 0.25 oder Komma statt Punkt eintippen.

Beispiel (KL21_KP1_P02, Aufgabe 4 c1, KK S. 7): 8 % der Fans kommen aus Italien. „Beschreiben Sie ein Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem nachstehenden Ausdruck berechnet werden kann. \(P(E)=1-0{,}92^5\)“

Lösungsweg:

1. \(0{,}92\) = ein Fan kommt nicht aus Italien; hoch 5 = alle 5 Fans nicht.
2. „\(1-\)“ = Gegenereignis von „keiner“.
3. Antwort: „Von 5 zufällig ausgewählten Formel-1-Fans kommt mindestens 1 aus Italien.“
4. Kontrolle (optional): 1-0.92^5 und 1-BinomialDist(5,0.08,0,true) liefern beide 0,3409.

So sagst du es mündlich: „0,92 ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fan nicht aus Italien kommt, 0,92 hoch 5, dass keiner der 5 Fans aus Italien kommt. Eins minus das ist das Gegenereignis: mindestens einer der 5 Fans kommt aus Italien.“

Typischer Fehler: Stichprobe und Kontext weglassen („mindestens 1“ allein reicht nicht) oder Grenzen verschieben: \(1-\sum_{k=0}^{60}\) heißt „mehr als 60“, nicht „mindestens 60“ (KL24_KP2_P02).

Beispiel (KL25_KP2_P02, Aufgabe 4 c1, KK S. 7): Züchter A hat a Hunde, Züchter B hat b Hunde; 2 Hunde, ohne Zurücklegen. „Stellen Sie mithilfe von a und b eine Formel zur Berechnung der nachstehenden Wahrscheinlichkeit auf. P(„beide Hunde sind vom Hundezüchter A“) =“

Lösungsweg:

1. Mini-Baum skizzieren. Erster Hund von A: \(\frac{a}{a+b}\).
2. Ohne Zurücklegen, zweiter Hund von A: \(\frac{a-1}{a+b-1}\).
3. Pfad multiplizieren: \(P=\frac{a}{a+b}\cdot\frac{a-1}{a+b-1}\).
4. Zahlenprobe in GeoGebra, z. B. a = 3, b = 2: 3/5*2/4 → 0,3.

Weitere echte Muster: kein einziger von 3 unabhängigen Fehlern \((1-p_1)(1-p_2)(1-p_3)\) (KL22_KP1_P02); erst A, falls nicht, dann B \(p_A+(1-p_A)\cdot p_B\) (KL26_KP1_P01); genau 5 von n \(\binom{n}{5}\cdot0{,}06^5\cdot0{,}94^{n-5}\) (KL23_KP1_P01).

So sagst du es mündlich: „Beim ersten Hund sind a von a + b Hunden von Züchter A. Weil nicht zurückgelegt wird, sind beim zweiten nur noch a − 1 von a + b − 1 übrig. Beides muss eintreten, also multipliziere ich entlang des Pfades.“

Typischer Fehler: \(\left(\frac{a}{a+b}\right)^2\) – das wäre mit Zurücklegen.

Beispiel (KL26_KP1_P02, Aufgabe 4 a1, KK S. 6): Von 100 Befragten fliegen 29 nie, 2 Personen werden zufällig ausgewählt. „Tragen Sie die fehlenden Wahrscheinlichkeiten in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.“

Lösungsweg:

1. Erste Stufe: fliegt \(\frac{71}{100}\), fliegt nie \(\frac{29}{100}\).
2. Zweite Stufe, Nenner 99: nach „fliegt“ → fliegt \(\frac{70}{99}\), fliegt nie \(\frac{29}{99}\); nach „fliegt nie“ → fliegt \(\frac{71}{99}\), fliegt nie \(\frac{28}{99}\).
3. Kontrolle: Äste jeder Verzweigung ergeben 1.
4. Folgt eine Rechnung: entlang des Pfades multiplizieren, passende Pfade addieren. Beispiel KL23_KP2_P02 a1 („nur Klasse A“, 12 von 30): 12/30*11/29*10/28 ≈ 0,054 = 5,4 %.

So sagst du es mündlich: „Beim ersten Zug fliegen 71 von 100 Personen. Dieselbe Person wird nicht zweimal gewählt, also sind beim zweiten Zug nur 99 übrig – nach einem Flieger also noch 70 Flieger. An jeder Verzweigung ergibt die Summe 1.“

Typischer Fehler: Nenner 100 in der 2. Stufe (wäre mit Zurücklegen) – und ohne Zurücklegen keine Binomialverteilung nehmen, weil sich p bei jedem Zug ändert. Bei „55 % der Fans aus Österreich …“ (KL21_KP1_P02) gilt die Zahl nur für diesen Ast, nicht für alle.

Beispiel (KL25_KP1_P03, Aufgabe 4 a1, KK S. 6): 4 % der Adressen sind fehlerhaft, 3 000 werden zufällig ausgewählt. „Berechnen Sie den Erwartungswert E(X).“

Lösungsweg:

1. Binomial: \(n=3000\), \(p=0{,}04\).
2. \(E(X)=n\cdot p=3000\cdot0{,}04=120\) (GeoGebra: 3000*0.04).
3. Deuten: im Mittel 120 fehlerhafte Adressen.
4. Rückwärts: \(20\cdot p_D=4\Rightarrow p_D=0{,}2\) (KL26_KP1_P01 b2).

So sagst du es mündlich: „Der Erwartungswert ist n mal p, also 120. Wählt man sehr oft 3 000 Adressen aus, sind im Durchschnitt 120 fehlerhaft.“ Zu „5 · 0,8 = 4“ (KL24_KP2_P01 b1): „Der Erwartungswert für die Anzahl richtig beantworteter Fragen unter den 5 Geschichte-Fragen beträgt 4.“

Typischer Fehler: „Es sind genau 120“ – richtig ist „im Mittel / erwartet“.

Beispiel (KL23_KP1_P03, Aufgabe 4 a2, KK S. 6): \(\mu=650\) mm, \(\sigma=100\) mm. „Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die jährliche Niederschlagsmenge an diesem Ort in einem zufällig ausgewählten Jahr mindestens 800 mm beträgt.“

Lösungsweg:

1. \(X\) … jährliche Niederschlagsmenge in mm, normalverteilt.
2. Mindestens 800 = Fläche rechts von 800: \(P(X\ge800)=1-P(X\le800)\).
3. GeoGebra: Wahrscheinlichkeitsrechner → Normal, μ = 650, σ = 100, rechtsseitig \(P(800\le X)\) – oder 1-Normal(650,100,800,true).
4. Ergebnis: \(0{,}0668\ldots\approx6{,}7\,\%\).
5. Graph-Fragen (a1 derselben Aufgabe): Hochpunkt bei \(\mu=650\), Wendestellen bei \(\mu\pm\sigma\) = 550 und 750; kleineres σ → schmäler und höher.

So sagst du es mündlich: „X ist normalverteilt mit Erwartungswert 650 mm und Standardabweichung 100 mm. Mindestens 800 ist die Fläche unter der Glockenkurve rechts von 800, also 1 minus F(800). Das sind rund 6,7 %.“

Typischer Fehler: false statt true (liefert nur die Kurvenhöhe) oder Varianz statt σ eingeben. Und: kein „k − 1“ – mindestens 800 und mehr als 800 sind hier gleich.

Beispiel (KL22_KP1_P02, Aufgabe 4 c1, KK S. 6): Boxplot der Betriebsstunden bis zum Fehler F2. „Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Interquartilsabstand ab.“

Lösungsweg:

1. Box-Ränder ablesen: \(q_1=11\,000\), \(q_3=13\,500\).
2. \(q_3-q_1=2\,500\) Betriebsstunden.
3. Mittelwert mit Häufigkeiten (KL22_KP2_P01 a1): \(\bar x=\frac{5\cdot55+20\cdot40+40\cdot5}{100}=12{,}75\) mg – GeoGebra Mean({5,20,40},{55,40,5}).
4. Kreisdiagramm: Winkel = Anteil · 360°, z. B. 8 von 16 Spielen → 180° (KL22_KP2_P02 b1).

So sagst du es mündlich: „Die Box reicht vom 1. Quartil 11 000 bis zum 3. Quartil 13 500, dazwischen liegen die mittleren 50 % der Werte. Der Interquartilsabstand ist die Differenz: 2 500 Betriebsstunden.“

Typischer Fehler: IQR (Box) mit Spannweite (Whisker, Max − Min) verwechseln; beim Mittelwert durch die Zahl der Klassen statt durch n = 100 teilen.

• KL25_KP2_P03 · Aufgabe 4 „Handys“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Stellen Sie mithilfe von d eine Formel zur Berechnung der nachstehenden Wahrscheinlichkeit auf. E ... „keines dieser 3 Handys hat ein gebrochenes Display“ P(E) =
  Lösung: P(E) = (20 − d)/20 · (19 − d)/19 · (18 − d)/18.
  Mündlich: Erklären, warum 20 − d die Anzahl der „guten“ Handys ist und warum Zähler und Nenner je Zug um 1 sinken; Abgrenzung zur Binomialverteilung (kein Zurücklegen).
• KL25_KP2_P02 · Aufgabe 4 „Hundeausstellung“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Stellen Sie mithilfe von a und b eine Formel zur Berechnung der nachstehenden Wahrscheinlichkeit auf. P(„beide Hunde sind vom Hundezüchter A“) =
  Lösung: P = a/(a + b) · (a − 1)/(a + b − 1).
  Mündlich: Baumdiagramm skizzieren; erklären, warum im zweiten Faktor a − 1 und a + b − 1 stehen (ohne Zurücklegen).
• KL25_KP2_P03 · Aufgabe 4 „Handys“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Beschreiben Sie ein Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem nachstehenden Ausdruck berechnet wird. P(E) = (60 über 20) · 0,3^20 · 0,7^40 ≈ 0,09
  Lösung: E: „Genau 20 der 60 Handys können nicht innerhalb dieses Tages repariert werden“ (oder „genau 40 können repariert werden“).
  Mündlich: Bedeutung von 60, 20, 0,3 und 0,7 erklären; „genau“ betonen; beide äquivalente Formulierungen nennen.
• KL25_KP2_P01 · Aufgabe 4 „Hasen und Rehe“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Beschreiben Sie ein Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem nachstehenden Ausdruck berechnet werden kann. P(E) = Σ (k = 1 bis 10) (10 über k) · p^k · (1 – p)^(10 – k)
  Lösung: E: „Bei mindestens 1 der 10 Wanderungen sichtet Karl Wildtiere“ (äquivalent P(E) = 1 − (1 − p)^10).
  Mündlich: Bedeutung von n = 10, k, p und 1 − p erklären; Gegenereignis „bei keiner Wanderung“ und 1 − (1 − p)^10 zeigen; Binomialvoraussetzungen (unabhängig, konstantes p, zwei Ausgänge) nennen.
• KL25_KP2_P02 · Aufgabe 4 „Hundeausstellung“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein nach dem Zufallsprinzip ausgewählter Hund dieser Rasse eine Masse von mindestens 30 kg hat.
  Lösung: P(X ≥ 30) = 0,2838… ≈ 28,4 %.
  Mündlich: Ereignis „mindestens 30 kg“ als P(X ≥ 30) formulieren, Fläche rechts von 30 unter der Dichte skizzieren; Plausibilität (< 50 %, da 30 > μ).
• KL24_KP2_P03 · Aufgabe 4 „Golf“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Spielzeit auf der ersten Spielbahn mindestens 11 min beträgt.
  Lösung: P(X ≥ 11) = 0,0668… ≈ 6,7 %.
  Mündlich: Ereignis in Ungleichung übersetzen; Rechnerbefehl und Grenzen erklären; Ergebnis in %.
• KL25_KP2_P02 · Aufgabe 4 „Hundeausstellung“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Geben Sie die zwei fehlenden Werte an. Erwartungswert der Widerristhöhe: ___ cm; Standardabweichung der Widerristhöhe: ___ cm
  Lösung: μ = (56 + 61)/2 = 58,5 cm; σ = (61 − 56)/4 = 1,25 cm.
  Mündlich: Erklären, warum μ in der Mitte (Hochpunkt) liegt und warum die Breite 5 cm vier Standardabweichungen entspricht.
• KL24_KP2_P03 · Aufgabe 4 „Golf“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Graphen einer möglichen Dichtefunktion für die Spielzeit auf der zweiten Spielbahn ein.
  Lösung: Glockenkurve mit Maximum links von 9,5 min, höher und schmäler als die gegebene.
  Mündlich: Begründen, warum die Kurve bei kleinerem σ höher wird (Gesamtfläche 1).
• KL25_KP2_P01 · Aufgabe 4 „Hasen und Rehe“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Stellen Sie eine Formel zur Berechnung von r̄ auf. Verwenden Sie dabei a, b und c.
  Lösung: r̄ = (2·a + b + 20 + c)/3.
  Mündlich: Erklären, dass durch 3 (Anzahl der Reviere) und nicht durch die Tieranzahl geteilt wird; Bruchstrich/Klammer korrekt setzen.
• KL23_KP2_P03 · Aufgabe 4 „Bauernschnapsen“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Ermitteln Sie das arithmetische Mittel und die Standardabweichung der von Margits Team bei 58 Spielen erzielten Punkte.
  Lösung: x̄ = 3,448…; s = 3,168… (s_(n−1) = 3,196… ebenfalls richtig).
  Mündlich: Vorgehen am Rechner zeigen (Werte und Häufigkeiten), Bedeutung von Mittelwert und Standardabweichung im Kontext erklären.
• KL22_KP2_P03 · Aufgabe 4 „Altglas“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Bestimmen Sie den Median dieser Sammelmengen.
  Lösung: (218 600 + 222 200)/2 = 220 400 → Median 220 400 t.
  Mündlich: Vorgehen bei gerader Anzahl erklären; Median vom arithmetischen Mittel abgrenzen.
• KL22_KP2_P01 · Aufgabe 4 „Zigaretten“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Erklären Sie, warum der Median der Menge an Rauchinhaltsstoffen in der Klasse 1 liegt.
  Lösung: 55 von 100 Werten, also mehr als die Hälfte, liegen in Klasse 1 → der Median (50./51. Wert) liegt in Klasse 1.
  Mündlich: Definition des Medians nennen; mit der kumulierten Häufigkeit 55 > 50 argumentieren.
• KL24_KP2_P01 · Aufgabe 4 „Wissensspiel“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Vervollständigen Sie das nachstehende Diagramm.
  Lösung: sehr schwierig 30 %, schwierig 50 %, leicht 20 %.
  Mündlich: Relative vs. absolute Häufigkeit erklären; Summe 100 % kontrollieren.
• KL22_KP2_P03 · Aufgabe 4 „Altglas“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Zeichnen Sie im nachstehenden Kreisdiagramm den Sektor für Buntglas und den Sektor für Weißglas ein.
  Lösung: Weißglas = 226 400 − 1 100 − 133 300 = 92 000 t; Buntglas: 133 300/226 400·360° ≈ 211,96°; Weißglas: 92 000/226 400·360° ≈ 146,28°.
  Mündlich: Restberechnung und Umrechnung Anteil → Winkel erklären; Kontrolle Winkelsumme 360°.

Beispiel (KL25_KP2_P01, Aufgabe 1 a2): „An einem bestimmten Tisch werden für das Essen 23,10 Euro bezahlt. In diesem Preis für das Essen sind 10 % Umsatzsteuer enthalten. Berechnen Sie den Preis für das Essen ohne Umsatzsteuer.“

Lösungsweg 1. 100 % ist der Preis ohne Steuer – genau der ist gesucht. 2. Ansatz: \(G\cdot1{,}1=23{,}10\) 3. \(G=23{,}10:1{,}1=21\) Euro 4. Probe: \(21\cdot1{,}1=23{,}10\) ✓

So sagst du es mündlich: „Der Nettopreis ist 100 %, die bezahlten 23,10 Euro sind 110 %. Darum dividiere ich durch 1,1 und erhalte 21 Euro.“

Typischer Fehler: \(23{,}10\cdot0{,}9=20{,}79\) – falsch, denn die 10 % beziehen sich auf den Nettopreis. Vorwärts als Faktorkette (KL23_KP2_P01, 1 c1): \(20\,000\,000\cdot0{,}025\cdot1{,}4=700\,000\) (−97,5 %, danach +40 %).

Beispiel (KL25_KP3_P01, Aufgabe 1 a1): Einzeltickets kosten 15 + 15 + 7,50 Euro, das Familienticket 30 Euro. „Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Preis für 1 Familienticket niedriger ist als die Summe der Preise der einzelnen Tickets.“

Lösungsweg 1. Bezugswert ist, was nach „als“ steht: \(15+15+7{,}50=37{,}50\) Euro. 2. Relative Änderung (Formelsammlung S. 11): \(\frac{30-37{,}50}{37{,}50}=-0{,}2\) 3. Also um 20 % niedriger.

So sagst du es mündlich: „Verglichen wird mit der Summe der Einzelpreise, darum stehen 37,50 Euro im Nenner. Die Ersparnis von 7,50 Euro geteilt durch 37,50 Euro ergibt 0,2, also 20 %.“

Typischer Fehler: Falscher Bezugswert: \(7{,}50:30=0{,}25\), also „25 %“. Und: Von 20 % auf 25 % sind es 5 Prozentpunkte, aber +25 Prozent.

Beispiel (KL25_KP1_P02, Aufgabe 1 a3): Eine kreisförmige Öffnung hat den Flächeninhalt A1. „Bei einem anderen Vogelhaus ist der Radius der kreisförmigen Öffnung um 20 % größer. Diese kreisförmige Öffnung hat den Flächeninhalt A2. Zeigen Sie, dass A2 um 44 % größer als A1 ist.“

Lösungsweg 1. Kreisformel (Formelsammlung S. 6): \(A_1=r^2\cdot\pi\) 2. Neuen Radius \(1{,}2\cdot r\) einsetzen: \(A_2=(1{,}2\cdot r)^2\cdot\pi=1{,}44\cdot r^2\cdot\pi=1{,}44\cdot A_1\) 3. Faktor 1,44 heißt: um 44 % größer.

So sagst du es mündlich: „Ich setze 1,2 · r in die Kreisformel ein. Weil r im Quadrat steht, wird auch der Faktor quadriert: 1,2² = 1,44, also 44 % mehr Fläche.“

Typischer Fehler: Faktor nicht quadrieren oder nur mit Zahlen statt allgemein rechnen. Gleiches Muster: KL22_KP2_P01, 1 b1 (Zylinder: \(1{,}1^2=1{,}21\)) und KL22_KP1_P01, 1 b1 (\(t=\frac{s}{v}\): \(\frac{1{,}3}{0{,}8}=1{,}625\), also +62,5 %, nicht 30 % + 20 %).

Beispiel (KL26_KP1_P02, Aufgabe 1 a1): Rotwein (a Euro) und Weißwein (b Euro) kosten zusammen 190 Euro; verkauft „mit 15 % Gewinn“ bzw. „mit 4 % Verlust“ bringen sie insgesamt 205,20 Euro. „Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung von a und b.“

Lösungsweg 1. Unbekannte mit Einheit nennen: a, b = Einkaufspreise in Euro. 2. Satz mit „insgesamt“ → Gleichung. I: \(a+b=190\) 3. Prozent als Faktor. II: \(1{,}15\cdot a+0{,}96\cdot b=205{,}2\) 4. Nur wenn „berechnen/ermitteln“ dasteht: Löse({a + b = 190, 1.15*a + 0.96*b = 205.2}, {a, b}) → {{a = 120, b = 70}}, dann Probe durch Einsetzen.

So sagst du es mündlich: „Gleichung I ist der Einkauf: zusammen 190 Euro. Gleichung II ist der Verkauf: 15 % Gewinn heißt Faktor 1,15, 4 % Verlust Faktor 0,96, jeweils auf den Einkaufspreis.“

Typischer Fehler: \(0{,}04\cdot b\) statt \(0{,}96\cdot b\); oder „5-mal so viel Härtungsmittel wie Farblack“ als \(F=5\cdot H\) statt \(H=5\cdot F\) (KL23_KP1_P03, 1 b1).

Extra – Lösungsfälle (4 Sets, alle seit 2024). KL26_KP1_P02, 1 a2: „Begründen Sie, warum mit diesem Gleichungssystem x und y nicht eindeutig bestimmt werden können.“ (\(4x+6y=360\), \(6x+9y=540\)). Antwort: II ist das 1,5-Fache von I, auch rechts → identische Geraden → unendlich viele Lösungen. Schneiden → genau eine Lösung; parallel (nur links ein Vielfaches) → keine. Varianten: KL25_KP2_P01, 1 b1 (Kästchen: 6) und KL23_KP3_P01, 1 c1 (keine Lösung: \(c=8\)).

„Formen Sie … um“ kommt in den Sets so nicht vor – das Umstellen steckt in diesem Auftrag.

Beispiel (KL22_KP1_P02, Aufgabe 1 a1): Der Quadratmeterpreis „stieg … innerhalb eines Jahres um 8 %“; A = Preis am Anfang, N = Preis am Ende des Jahres. „Stellen Sie mithilfe von N eine Formel zur Berechnung von A auf.“

Lösungsweg 1. Zuerst die sichere Richtung: \(N=A\cdot1{,}08\) 2. Beide Seiten durch 1,08: \(A=\frac{N}{1{,}08}\) 3. CAS-Kontrolle: Löse(N = 1.08*A, A) → {A = 25/27 N}, das ist dasselbe wie \(\frac{N}{1{,}08}\). 4. Probe: \(A=200\) → \(N=216\) → \(216:1{,}08=200\) ✓

So sagst du es mündlich: „Der Endpreis ist der Anfangspreis plus 8 %, also N = A · 1,08. Ich dividiere beide Seiten durch 1,08. A = 0,92 · N wäre falsch, weil sich die 8 % auf den Anfangspreis beziehen.“

Typischer Fehler: \(A=0{,}92\cdot N\). Bei Formeln mit Einheiten hilft die Einheitenprobe, z. B. KL26_KP1_P01, 1 b1: \(t=\frac{30}{0{,}05\cdot G}\) mit \(\frac{\text{m}^3}{\text{m}^2\cdot\text{m/min}}=\text{min}\).

Beispiel (KL24_KP2_P03, Aufgabe 1 a1): Thomas liest ein Buch mit 360 Seiten, an jedem Schultag x Seiten, an jedem schulfreien Tag y Seiten. „Interpretieren Sie die Zahlen 9 und 4 in der nachstehenden Gleichung im gegebenen Sachzusammenhang. \(9\cdot x+4\cdot y=360\)“

Lösungsweg 1. Variablen lesen: x, y = Seiten pro Tag. 2. Einheiten rechnen: Zahl · Seiten pro Tag = Seiten, also sind 9 und 4 Anzahlen von Tagen. 3. Ganzen Satz mit Sachbezug sagen (mit Einheit, falls verlangt).

So sagst du es mündlich: „9 ist die Anzahl der Schultage und 4 die Anzahl der schulfreien Tage, an denen Thomas liest. An diesen 13 Tagen liest er zusammen die 360 Seiten des Buchs.“

Typischer Fehler: Nur „9 ist der Koeffizient von x“ sagen oder die Einheit vergessen. Mit Einheit (KL26_KP1_P01, 1 c1): \(2\cdot6\cdot180\cdot0{,}25=540\), kW · h/Tag · Tage · €/kWh = €, also 540 Euro Stromkosten.

Beispiel (KL21_KP1_P01, Aufgabe 1 a1): Pro Sekunde fließen rund 2,2 Millionen Liter. „Ergänzen Sie in der nachstehenden Umrechnung die fehlende Zahl.“ \(2{,}2\cdot10^6\) L/s = ___ m³/h

Lösungsweg 1. Zähler: 1 L = \(10^{-3}\) m³, also \(2{,}2\cdot10^6\cdot10^{-3}=2\,200\) m³ pro Sekunde. 2. Nenner: 1 h = 3 600 s, pro Stunde fließt also 3 600-mal so viel. 3. \(2\,200\cdot3\,600=7{,}92\cdot10^6\) m³/h

So sagst du es mündlich: „Ein Liter ist ein Tausendstel Kubikmeter, also mal 10 hoch minus 3. Eine Stunde hat 3 600 Sekunden, also mal 3 600. Das ergibt 7,92 mal 10 hoch 6 Kubikmeter pro Stunde.“

Typischer Fehler: Bei „pro Stunde“ durch 3 600 dividieren, oder 1 cm² = 0,01 m² (richtig: \(10^{-4}\) m², bei Flächen Faktor quadrieren). Merke: m/s → km/h heißt \(\cdot\,3{,}6\), zurück \(:\,3{,}6\).

• KL25_KP2_P02 · Aufgabe 1 „Bücher und Wörter“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Stellen Sie mithilfe von a eine Formel zur Berechnung der Gesamtzahl der in den ersten 3 Minuten gelesenen Wörter A auf.
  Lösung: A = a + a · 0,75 + a · 0,75 · 0,7 = 2,275 · a.
  Mündlich: Erklären, warum die dritte Minute a · 0,75 · 0,7 (und nicht a · 0,45 oder a · 0,7) ist: Bezugswert der 30 % ist die zweite Minute; Vereinfachung zu 2,275 · a zeigen.
• KL25_KP2_P01 · Aufgabe 1 „Almhütte“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Berechnen Sie den Preis für das Essen ohne Umsatzsteuer.
  Lösung: 23,10 / 1,1 = 21 → Preis ohne Umsatzsteuer 21 Euro.
  Mündlich: Erklären, warum durch 1,1 dividiert und nicht mit 0,9 multipliziert wird (Bezugswert = Nettopreis = 100 %, 23,10 · 0,9 = 20,79 wäre falsch); Probe 21 · 1,1 = 23,10.
• KL24_KP2_P01 · Aufgabe 1 „Wanderwege“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Berechnen Sie die Zeit, die Patrick insgesamt für diese Wanderung benötigt. Geben Sie das Ergebnis in Minuten an.
  Lösung: t = 7 500 m / (1 m/s) = 7 500 s = 125 min; plus 30 min Pause → insgesamt 155 min.
  Mündlich: Einheiten sauber umrechnen (km→m, s→min), Pause nicht vergessen, Ergebnis in Minuten nennen.
• KL25_KP2_P02 · Aufgabe 1 „Bücher und Wörter“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Interpretieren Sie die Werte 110 und 95 im gegebenen Sachzusammenhang.
  Lösung: 110: Leon spricht (durchschnittlich) 110 Wörter pro Minute; 95: Lara spricht (durchschnittlich) 95 Wörter pro Minute.
  Mündlich: Über Einheiten argumentieren (Wörter = Wörter/min · min); beide Werte getrennt und mit Bezug auf die jeweilige Person deuten; „durchschnittlich“ erwähnen.
• KL25_KP2_P01 · Aufgabe 1 „Almhütte“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung von k und s.
  Lösung: I: 2·k = 9·s; II: k + 2·s = 6,50 (Kontrolle: k = 4,50 €, s = 1,00 €).
  Mündlich: Zuordnung Textaussage → Gleichung begründen (2·k = 9·s ist eine Gleichheit, keine Summe); Variablenbedeutung und Einheit Euro nennen; Lösung k = 4,50 €, s = 1 € auf Nachfrage vorrechnen können.
• KL24_KP2_P03 · Aufgabe 1 „Bücher“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Berechnen Sie die Masse dieses Taschenbuchs.
  Lösung: 420 · 130 · 190 · 10⁻⁶ · 90 + 15 = 948,6… g ≈ 949 g.
  Mündlich: Umrechnung mm² → m² begründen (Faktor 10⁻⁶), Einband nicht vergessen.
• KL21_KP2_P04 · Aufgabe 3 „Elektrische Leitfähigkeit“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Geben Sie die Steigung dieser linearen Funktion F an.
  Lösung: F(T) = a·b·T + b − 25·a·b ⇒ Steigung k = a·b.
  Mündlich: Ausmultiplizieren Schritt für Schritt; erklären, dass nur der Faktor bei T die Steigung ist.
• KL21_KP1_P03 · Aufgabe 1 „Wasser“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Stellen Sie diese Berechnung richtig.
  Lösung: 6,022·10²³ − 6·10²³ = (6,022 − 6)·10²³ = 0,022·10²³ (= 2,2·10²¹).
  Mündlich: Fehler benennen (Zehnerpotenz ‚gekürzt‘), korrekte Rechnung mit Ausklammern zeigen und in normierte Darstellung 2,2·10²¹ bringen.

Beispiel: KL26_KP1_P02, Aufgabe 1 b) 1), KK S. 3, PP S. 5: „Berechnen Sie den Winkel α.“ Weinglas von der Seite: halbe Breite an der Weinoberfläche 4,3 cm, Weinhöhe 8,1 cm, darunter noch 2,4 cm bis zur Spitze des Kegels.

Lösungsweg: 1. Dreieck aus Symmetrieachse, Weinoberfläche und Glaswand einzeichnen (rechter Winkel an der Achse). α am Rand ist so groß wie der Winkel an der Weinoberfläche (parallele Linien). 2. Seiten benennen: A = 4,3 cm, G = 8,1 + 2,4 = 10,5 cm. 3. G und A bekannt, also Tangens (FS S. 7): \(\tan(\alpha)=\frac{10{,}5}{4{,}3}\). 4. \(\alpha=\arctan\left(\frac{10{,}5}{4{,}3}\right)\) = 67,72…° ≈ 67,7°. Eingabe: tan⁻¹(10.5/4.3) im Grad-Modus oder atan(10.5/4.3)/° in GeoGebra.

So sagst du es mündlich: „Ich verwende das rechtwinklige Dreieck zwischen Symmetrieachse und Glaswand. Gegenüber von α liegt die ganze Höhe bis zur Spitze, 10,5 cm, anliegend die halbe Breite 4,3 cm, darum der Tangens. Der Winkel α beträgt rund 67,7 Grad.“

Typischer Fehler: G und A vertauschen (falsch: 22,3°), nur 8,1 cm nehmen (falsch: 62,0°) oder der Rechner steht auf Radiant (dann erscheint 1,18).

Beispiel: KL23_KP1_P01, Aufgabe 1 a) 2), KK S. 3, PP S. 5: „Berechnen Sie x.“ Klettergerüst (Höhe \(42\cdot\sqrt{3}\) cm, Basis 84 cm) mit gerader Rutsche von der Spitze zum Boden, Neigungswinkel 35°; x reicht vom linken Fuß bis zum Ende der Rutsche.

Lösungsweg: 1. Lot von der Spitze zur Basismitte zeichnen: rechtwinkliges Dreieck, die Rutsche ist die Hypotenuse. 2. Zum 35°-Winkel: G = \(42\cdot\sqrt{3}\) cm, A = \(x-42\) cm, weil das Lot 42 cm vom linken Fuß entfernt steht. 3. Tangens (FS S. 7): \(\tan(35^\circ)=\frac{42\cdot\sqrt{3}}{x-42}\), also \(x=42+\frac{42\cdot\sqrt{3}}{\tan(35^\circ)}\). 4. x = 145,89… cm ≈ 145,9 cm. GeoGebra: 42+42*sqrt(3)/tan(35°).

So sagst du es mündlich: „Mit dem Lot von der Spitze entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, die Rutsche ist die Hypotenuse. Zum 35°-Winkel kenne ich die Gegenkathete 42 mal Wurzel 3 cm, die Ankathete ist x minus 42, also Tangens. x ist rund 146 cm lang.“

Typischer Fehler: ganz x als Ankathete nehmen (falsch: 103,9 cm).

Beispiel: KL26_KP1_P04, Aufgabe 1 b) 1), KK S. 3, PP S. 5: „Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Entfernung L auf. Verwenden Sie dabei H, h und α.“ Klaus sieht von einem Punkt in der Höhe h die Spitze eines Turms (Höhe H) unter dem Höhenwinkel α; L ist die waagrechte Entfernung.

Lösungsweg: 1. Dreieck markieren: Waagrechte auf Höhe h, Turm, Sichtlinie. 2. G = \(H-h\) (nur der Turmteil über der Waagrechten), A = \(L\). 3. \(\tan(\alpha)=\frac{H-h}{L}\) (FS S. 7). 4. Mal L, dann durch \(\tan(\alpha)\): \(L=\frac{H-h}{\tan(\alpha)}\).

So sagst du es mündlich: „Der Höhenwinkel wird ab der Waagrechten auf Höhe h gemessen, deshalb ist die Gegenkathete H minus h und nicht H. L liegt am Winkel an, darum Tangens, und dann forme ich nach L um. L hat dieselbe Längeneinheit wie H und h.“

Typischer Fehler: H statt \(H-h\) oder falsch umgeformt (\(L=\tan(\alpha)\cdot(H-h)\)). Ist ein Winkel gesucht, endet die Formel mit arctan, arcsin oder arccos, z. B. \(\beta=2\cdot\arctan\left(\frac{r}{h}\right)\) beim Schüttkegel (KL26_KP1_P05 1 b) 1)).

Beispiel: KL23_KP2_P01, Aufgabe 1 a) 1), KK S. 3, PP S. 5: „Stellen Sie mithilfe von b und h eine Formel zur Berechnung von V auf.“ Tunnel, 426,5 m lang; Querschnitt = Rechteck (Breite b, Höhe h) mit aufgesetztem Halbkreis; V = Luftvolumen.

Lösungsweg: 1. Querschnitt zerlegen: Rechteck \(b\cdot h\) plus Halbkreis mit Radius \(\frac{b}{2}\). 2. Halbkreis = halbe Kreisfläche (FS S. 6): \(\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{b}{2}\right)^2\cdot\pi\). 3. Prisma (FS S. 6): Volumen = Grundfläche mal Länge. 4. \(V=426{,}5\cdot\left(b\cdot h+\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{b}{2}\right)^2\cdot\pi\right)\) in m³.

So sagst du es mündlich: „Der Tunnel ist ein Prisma, also Querschnittsfläche mal Länge 426,5 m. Den Querschnitt zerlege ich in ein Rechteck b mal h und einen Halbkreis, dessen Radius die halbe Breite ist. V kommt in Kubikmetern heraus.“

Typischer Fehler: b statt \(\frac{b}{2}\) als Radius oder das \(\frac{1}{2}\) beim Halbkreis vergessen. Zahlenvariante KL24_KP2_P02 1 b) 1), „Berechnen Sie das Volumen der dazu benötigten Erde.“, Katheten aus 200 cm und 15°: \(V=\frac{200\cdot\sin(15^\circ)\cdot 200\cdot\cos(15^\circ)}{2}\cdot 225\) = 1 125 000 cm³ = 1,125 m³.

Beispiel: KL25_KP1_P01, Aufgabe 1 a) 1), KK S. 3, PP S. 5: „Interpretieren Sie den nachstehenden Ausdruck im gegebenen Sachzusammenhang. 1 390 – 1 161 · sin(α)“. Das 1 161 m lange Seil verläuft gerade mit dem Steigungswinkel α von der Talstation zur Mittelstation (Seehöhe 1 390 m).

Lösungsweg: 1. Skizze: Seil = Hypotenuse, α unten bei der Talstation. 2. Wegen \(\sin(\alpha)=\frac{G}{H}\) (FS S. 7) ist \(1161\cdot\sin(\alpha)\) die Gegenkathete, also der Höhenunterschied zwischen Tal- und Mittelstation. 3. 1 390 m minus Höhenunterschied = Seehöhe der Talstation.

So sagst du es mündlich: „1 161 mal Sinus α ist die Gegenkathete zum Steigungswinkel, also der Höhenunterschied zwischen Tal- und Mittelstation. Ziehe ich ihn von 1 390 m ab, erhalte ich die Höhe der Talstation über dem Meeresspiegel in Metern.“

Typischer Fehler: den Term nur vorlesen statt Bedeutung und Einheit nennen. Kennzeichnen geht genauso: Bei \(\alpha=\arctan\left(\frac{a}{c}\right)\) (KL26_KP1_P03 1 a) 2)) ist a gegenüber, c anliegend, also liegt α unten rechts zwischen c und der Diagonale.

Beispiel: KL24_KP2_P01, Aufgabe 1 c) 1), KK S. 3, PP S. 5: Johanna behauptet: „Bei einer Steigung von 120 % ist der Steigungswinkel doppelt so groß wie bei einer Steigung von 60 %.“ – „Überprüfen Sie nachweislich, ob diese Behauptung stimmt.“

Lösungsweg: 1. Steigung = Tangens des Steigungswinkels (FS S. 9: \(k=\tan(\alpha)\)), also 120 % = 1,2 und 60 % = 0,6. 2. \(\arctan(1{,}2)\) = 50,19° und \(\arctan(0{,}6)\) = 30,96° (GeoGebra: atan(1.2)/°). 3. Vergleich: 2 · 30,96° = 61,93° ≠ 50,19°, die Behauptung ist falsch.

So sagst du es mündlich: „Die Steigung ist der Tangens des Steigungswinkels. Zu 120 % gehören 50,2°, zu 60 % gehören 31,0°; das Doppelte wären 61,9°, also stimmt die Behauptung nicht. Der Tangens wächst nicht proportional zum Winkel.“

Typischer Fehler: \(\arctan(120)\) statt \(\arctan(1{,}2)\) rechnen (falsch: 89,5°). Merke für „doppelt so groß?“: Längen mal k ergeben Flächen mal \(k^2\), Volumen mal \(k^3\) (Schüttkegel KL26_KP1_P05 1 b) 2): \(1{,}1^3=1{,}331\), also um 33,1 % größer).

• KL25_KP2_P03 · Aufgabe 1 „Dambergwarte“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Stellen Sie mithilfe von h (in m) eine Formel zur Berechnung von α auf.
  Lösung: α = arctan(h/3,5).
  Mündlich: Begründen, warum 3,5 m (halbe Basis) die Ankathete ist; Gegen-/Ankathete am Winkel α zeigen; Unterschied tan vs. arctan erklären.
• KL25_KP2_P02 · Aufgabe 1 „Bücher und Wörter“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Berechnen Sie α.
  Lösung: tan(α) = (3/5 · 200)/50 = 120/50 → α = arctan(120/50) = 67,38…°.
  Mündlich: Zeigen, welches Teildreieck verwendet wird und warum dort derselbe Winkel α auftritt (parallele Regalböden); Höhe 120 cm aus den 5 gleich hohen Fächern begründen; Gegen- und Ankathete benennen.
• KL25_KP2_P03 · Aufgabe 1 „Dambergwarte“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Argumentieren Sie mithilfe der obigen Abbildung, dass γ = 120° sein muss.
  Lösung: Die Eckdreiecke haben drei Seiten 1,9 m → gleichseitig → 60°; γ + 60° = 180° → γ = 120° (Abmessen genügt nicht).
  Mündlich: Schlusskette vollständig formulieren (gleichseitig → 60° → Nebenwinkel 180° − 60°); betonen, dass Messen keine Begründung ist.
• KL25_KP2_P03 · Aufgabe 1 „Dambergwarte“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Berechnen Sie den Flächeninhalt des Bodens der Aussichtsplattform.
  Lösung: A = (6,05 + 2 · 1,9)²/4 · √3 − 3 · 1,9²/4 · √3 = 37,322… → rund 37,32 m².
  Mündlich: Zerlegungsstrategie erklären (Differenz oder Zerlegung in Trapeze/Dreiecke); Formel a²·√3/4 (Formelsammlung) bzw. Herleitung über Höhe; Einheit m².

Original: KL22_KP1_P01, Aufgabe 3 b) 1): „Stellen Sie eine Gleichung der zugehörigen linearen Funktion auf. Wählen Sie t = 0 für den Jahresbeginn 2010.“ (Bevölkerung Österreichs: 2010 8,35 Mio., 2020 8,9 Mio.)

1. Jahre in \(t\) umrechnen: \((0 \mid 8{,}35)\) und \((10 \mid 8{,}9)\).
2. Steigung: \(k=\frac{8{,}9-8{,}35}{10-0}=0{,}055\).
3. \(d\) ist der Wert bei \(t=0\), also \(f(t)=0{,}055\cdot t+8{,}35\). Liegt kein Punkt bei \(t=0\): \(d=y_1-k\cdot x_1\).
4. GeoGebra: Trendlinie({(0, 8.35), (10, 8.9)}) → y = 0.055x + 8.35.

So sagst du es mündlich: „Laut Modell wächst die Bevölkerung jedes Jahr um 0,055 Millionen, also um 55 000 Menschen. 8,35 Millionen ist die Bevölkerung zu Jahresbeginn 2010.“

Typischer Fehler: 2010 statt \(t=0\) einsetzen; einen Wert als \(d\) nehmen, der nicht bei \(t=0\) liegt; \(k\) ohne Einheit nennen; „pro Tag“ nicht in „pro Jahr“ umrechnen (KL24_KP2_P03: \(6\cdot 365=2\,190\) ha pro Jahr).

Original: KL26_KP1_P02, Aufgabe 2 a) 2): „Stellen Sie mithilfe der Werte für die Jahre 2020 und 2021 eine Gleichung von f auf.“ (\(t=0\) für 2020; Energiebedarf 2020: 9 253 PJ, 2021: 11 004 PJ)

1. Ansatz \(f(t)=N_0\cdot a^t\) mit \(N_0=9\,253\).
2. Faktor = Quotient: \(a=\frac{11\,004}{9\,253}=1{,}189\ldots\); bei 10 Jahren Abstand die 10. Wurzel: \(a=\sqrt[10]{300/600}=0{,}933\) (KL24_KP1_P01).
3. \(f(t)=9\,253\cdot 1{,}189^t\) oder mit \(\lambda=\ln(1{,}189\ldots)=0{,}173\): \(f(t)=9\,253\cdot e^{0{,}173\cdot t}\).
4. GeoGebra: TrendExp2({(0, 9253), (1, 11004)}) → 9253 * 1.1892^x; TrendExp(…) gibt 9253 e^(0.1733x).
5. Prozentsatz im Text: „stündlich um 2 % zu“ → \(a=1{,}02\); „verdoppelt sich alle 4 Jahre“ → \(a=\sqrt[4]{2}=1{,}189\) (KL25_KP1_P01).

So sagst du es mündlich: „9 253 Petajoule ist der Energiebedarf 2020, also bei \(t=0\). Der Faktor 1,189 heißt: Der Bedarf steigt laut Modell jedes Jahr um 18,9 % gegenüber dem Vorjahr.“

Typischer Fehler: +3 % ist \(a=1{,}03\), nicht \(0{,}03\); −3 % ist \(a=0{,}97\). Zeiteinheit beachten: 30 min sind \(t=0{,}5\) h, also \(a^{0{,}5}=\frac{89}{56}\) (KL24_KP2_P02).

Original: KL25_KP1_P01, Aufgabe 3 b) 2): „Interpretieren Sie die Zahl 1,2 in der obigen Gleichung im gegebenen Sachzusammenhang.“ (\(K_2(t)=1{,}25\cdot 1{,}2^t\), Speicherkapazität in ZB, \(t\) in Jahren ab 2016)

1. Rolle klären: vorne steht der Anfangswert, in der Basis der Faktor pro Zeiteinheit; linear: \(k\) ist die Änderung pro Einheit, \(d\) der Startwert.
2. Faktor in Prozent: \(1{,}2-1=0{,}2\), also +20 %. Bei Abnahme \(1-a\): \(0{,}933\) heißt −6,7 % pro Jahr.
3. e-Form: zuerst den Faktor \(e^{\lambda}\) bilden. GeoGebra: exp(0.137) - 1 → 0.1468, also +14,7 % pro Jahr (KL22_KP2_P03).

So sagst du es mündlich: „Die Speicherkapazität wächst laut Modell jedes Jahr um 20 %, jeweils im Vergleich zum Vorjahr. Die 1,25 vorne ist der Startwert zu Beginn 2016 in Zettabyte.“

Typischer Fehler: „1,2 heißt plus 1,2 %“ oder „plus 120 %“; \(\lambda=0{,}137\) direkt als 13,7 % lesen; die Zeiteinheit weglassen.

Original: KL24_KP2_P01, Aufgabe 3 a) 1): „Berechnen Sie die Verdoppelungszeit der Masse dieses Pilzes.“ (Die Masse nimmt stündlich um 2 % zu.)

1. Faktor: \(a=1{,}02\).
2. Ansatz: \(1{,}02^t=2\) (Halbwertszeit: \(a^t=0{,}5\)). Der Anfangswert kürzt sich weg.
3. Lösen: \(t=\frac{\ln 2}{\ln 1{,}02}=35{,}0\), also rund 35 Stunden.
4. GeoGebra: NLöse(1.02^x = 2) → {x = 35.0028}.
5. Halbwertszeit gegeben (30 min): \(a=0{,}5^{1/30}=0{,}977\) (KL23_KP1_P03).

So sagst du es mündlich: „Verdopplungszeit heißt: Nach dieser Zeit ist doppelt so viel da, egal wie viel am Anfang war. Darum setze ich \(1{,}02^t=2\). Die Masse verdoppelt sich etwa alle 35 Stunden.“

Typischer Fehler: \(0{,}02^t=2\) ansetzen; linear rechnen (\(100\,\%:2\,\%=50\) Stunden ist falsch).

Original: KL24_KP2_P03, Aufgabe 3 b) 1): „Berechnen Sie, nach wie vielen Jahren nach der Auspflanzung diese Nordmanntanne eine Höhe von 2 m erreicht.“ (\(h(t)=30\cdot 1{,}21^t\), \(h\) in cm)

1. Einheit angleichen: 2 m = 200 cm.
2. Gleichung: \(30\cdot 1{,}21^t=200\).
3. Lösen: \(t=\frac{\ln(200/30)}{\ln 1{,}21}=9{,}95\), also nach rund 10 Jahren.
4. GeoGebra: NLöse(30*1.21^x = 200) → {x = 9.9523}, oder zeichnen und Schnittpunkt(f, g) mit g(x) = 200.
5. Probe: \(h(10)=201{,}8\) cm, passt.

Varianten: „um ein Viertel zugenommen“ → \(1{,}25\cdot N(0)\) (KL22_KP1_P01); „noch 75 %“ → \(0{,}75\cdot D_0\) (KL24_KP2_P02).

So sagst du es mündlich: „Ich setze die Höhe gleich 200, weil h in Zentimetern angegeben ist. Die Lösung \(t\approx 9{,}95\) bedeutet: Rund 10 Jahre nach dem Auspflanzen ist die Tanne 2 m hoch.“

Typischer Fehler: 2 statt 200 einsetzen ergibt \(t\approx -14{,}2\), und eine negative Zeit ist ein Warnsignal. Bei quadratischen Gleichungen die negative Lösung begründet streichen.

Original: KL23_KP1_P03, Aufgabe 3 a) 1): „Zeichnen Sie in die obige Abbildung den Graphen für den exponentiellen Zerfall der Substanz B ein.“ (Gleiche Anfangsmenge wie A, Halbwertszeit halb so groß.)

1. Ablesen: A fällt in 4 min von 4 mg auf 2 mg, also Halbwertszeit 4 min.
2. B halbiert sich alle 2 min: Punkte \((0 \mid 4)\), \((2 \mid 2)\), \((4 \mid 1)\), \((6 \mid 0{,}5)\).
3. Punkte eintragen und mit einer Kurve verbinden, die immer flacher wird und über 0 bleibt.
4. GeoGebra zur Kontrolle: B(x) = 4*0.5^(x/2).

Nur ablesen: KL26_KP1_P04, Aufgabe 3 a) 1): „Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung die Steigung der Funktion K. Geben Sie dabei die zugehörige Einheit an.“ Gitterpunkte ablesen: \(k=\frac{100\,000-40\,000}{400-0}=150\) GE/ME. Kästchen bei \(T(t)=100-76\cdot e^{-0{,}025\cdot t}\): Startwert \(T(0)=24\), Grenze \(100\) (KL23_KP1_P02).

So sagst du es mündlich: „A halbiert sich alle 4 Minuten, B doppelt so schnell, also alle 2 Minuten. Darum geht mein Graph durch (2|2) und (4|1) und liegt unter dem Graphen von A.“

Typischer Fehler: eine Gerade statt einer Kurve zeichnen; zwischen Gitterlinien schätzen statt Gitterkreuzungen nehmen.

Original: KL24_KP1_P01, Aufgabe 3 a) 1): „Zeigen Sie rechnerisch, dass die drei in der obigen Tabelle angegebenen Wertepaare nicht Punkte auf einer Geraden sind.“ (Tag 0, 60, 100; Temperatur 8, 13, 17 °C)

1. Zwei Steigungen berechnen: \(\frac{13-8}{60-0}=0{,}083\) und \(\frac{17-13}{100-60}=0{,}1\).
2. Vergleichen: verschieden, also keine Gerade.
3. Nicht exponentiell? Faktoren aus je zwei Messwerten vergleichen: \(0{,}977\neq 0{,}989\) (KL22_KP1_P05). Behauptung falsch? Gegenbeispiel vorrechnen: Verdoppelt werden 60 und 55 cm³ zu 120 und 110 cm³, Unterschied 10 statt 5 cm³ (KL24_KP2_P02).
4. GeoGebra: (13-8)/60 und (17-13)/40 in die Eingabezeile.

So sagst du es mündlich: „Bei einer Geraden ist die Steigung überall gleich. Hier sind es zuerst 0,083 °C pro Tag, dann 0,1 °C pro Tag, also liegen die Punkte nicht auf einer Geraden.“

Typischer Fehler: nur die Zuwächse 5 und 4 vergleichen, obwohl die Abstände verschieden sind (60 und 40 Tage). Immer durch \(\Delta x\) teilen!

Original: KL23_KP1_P01, Aufgabe 2 a) 1): „Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten von K.“ (\(K(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c\); Fixkosten 22 GE; bei 20 ME Kosten 40 GE und lokale Änderungsrate 1,5 GE/ME)

1. Ableitung bilden: \(K'(x)=2a\cdot x+b\).
2. Text übersetzen: Fixkosten → \(K(0)=22\); Punkt → \(K(20)=40\); lokale Änderungsrate → \(K'(20)=1{,}5\).
3. Ausschreiben: I: \(c=22\); II: \(400a+20b+c=40\); III: \(40a+b=1{,}5\).
4. GeoGebra (CAS) zur Kontrolle: Löse({c = 22, 400a + 20b + c = 40, 40a + b = 1.5}, {a, b, c}) → \(a=\frac{3}{100}\), \(b=\frac{3}{10}\), \(c=22\).

Merke: „durch \((u \mid v)\)“ → \(f(u)=v\); „Hoch-/Tiefpunkt, maximal, am geringsten“ → \(f'(u)=0\); „Steigung, Änderungsrate“ → \(f'(u)=\) gegebener Wert; „Wendepunkt“ → \(f''(u)=0\).

So sagst du es mündlich: „Drei Unbekannte brauchen drei Gleichungen. Fixkosten sind die Kosten bei 0 Stück, also \(K(0)=22\); die lokale Änderungsrate ist die Ableitung, also \(K'(20)=1{,}5\).“

Typischer Fehler: Ein Hochpunkt gibt zwei Gleichungen (\(f(u)=v\) und \(f'(u)=0\)), nicht eine; \(K'(20)\) mit \(K(20)\) verwechseln.

• KL25_KP2_P03 · Aufgabe 3 „Preisentwicklung“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Berechnen Sie, nach wie vielen Jahren sich gemäß diesem Modell der Preis jeweils um 50 % erhöht.
  Lösung: 1,06^t = 1,5 → t = ln(1,5)/ln(1,06) = 6,95… → nach jeweils rund 7 Jahren.
  Mündlich: Erklären, warum p3(0) wegfällt („jeweils“); Lösung über Logarithmus zeigen; Ergebnis sinnvoll runden (≈ 7 Jahre).
• KL25_KP2_P02 · Aufgabe 3 „Bakterien“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Skizzieren Sie in der obigen Abbildung den Graphen von B1 im Intervall [0; 120].
  Lösung: B verdoppelt sich alle 20 min (1000 → 2000 → 4000 …); B1 alle 60 min: Graph durch (0|1000), (60|2000), (120|4000).
  Mündlich: Ablesen der Verdoppelungszeit 20 min an B begründen; erklären, warum B1 durch (60|2000) und (120|4000) läuft und weiterhin leicht gekrümmt (nicht linear) ist.
• KL25_KP2_P03 · Aufgabe 3 „Preisentwicklung“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Stellen Sie eine Gleichung der linearen Funktion p1 auf.
  Lösung: k = (120 − 60)/(16 − 0) = 3,75; p1(t) = 3,75 · t + 60.
  Mündlich: Parameter deuten: 60 €/Stück Startpreis, 3,75 € Preisanstieg pro Jahr; Ablesepunkte begründen.
• KL25_KP2_P01 · Aufgabe 3 „Übernachtungen in einem Hotel“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Zeigen Sie mithilfe des Differenzenquotienten, dass die Anzahl der Übernachtungen pro Jahr im Intervall [2014; 2019] nicht linear zunimmt.
  Lösung: (1610 − 1430)/3 = 60; (1750 − 1610)/2 = 70; (1750 − 1430)/5 = 64 → nicht gleich → nicht linear (zwei verschiedene Werte genügen; Kehrwerte ebenfalls zulässig).
  Mündlich: Begründen, warum bei ungleichen Jahresabständen Differenzenquotienten (nicht bloße Differenzen) verglichen werden; Einheit „Übernachtungen pro Jahr pro Jahr“ deuten.
• KL25_KP2_P03 · Aufgabe 2 „Kinderzeichnung“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Stellen Sie eine Gleichung von g auf.
  Lösung: g(7) = 0, g(9) = 4, g(11) = 0 → a = −1, b = 18, c = −77 → g(x) = −x² + 18x − 77.
  Mündlich: Ansatz g(x) = ax² + bx + c und Einsetzen der Punkte zeigen; alternativ Symmetrie (Nullstellen 7 und 11 → Scheitel bei 9) begründen; Probe mit einem Punkt.
• KL24_KP2_P03 · Aufgabe 2 „Bettgestell“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Berechnen Sie c.
  Lösung: 2·c·45 + 0,9 = 0 → c = −0,01.
  Mündlich: Warum h′(45) = 0; Hochpunkt erfordert c < 0 (nach unten offen) als Plausibilitätskontrolle.
• KL25_KP2_P03 · Aufgabe 3 „Preisentwicklung“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Tragen Sie die fehlenden Zeichen („<“, „=“ oder „>“) in die dafür vorgesehenen Kästchen ein. p1(4) □ p2(4); p1′(4) □ p2′(4)
  Lösung: p1(4) > p2(4); p1′(4) > p2′(4) (Kontrolle: p1′ = 3,75, p2′(4) ≈ 3,09).
  Mündlich: Begründen, warum p2 bei t = 4 flacher ist (beide Graphen haben auf [0; 16] dieselbe mittlere Steigung, die exponentielle Steigung nimmt zu); Tangenten skizzieren.
• KL23_KP2_P03 · Aufgabe 3 „Hitzefalle Auto“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.
  Lösung: Oberes Kästchen (Asymptote): 60; unteres Kästchen (Startwert): 32.
  Mündlich: Begründen, warum der Graph sich 60 °C nähert (e-Term → 0) und warum bei t = 0 genau 32 °C herrschen.
• KL24_KP2_P03 · Aufgabe 3 „Wald“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Berechnen Sie, nach wie vielen Jahren nach der Auspflanzung diese Nordmanntanne eine Höhe von 2 m erreicht.
  Lösung: 1,21^t = 200/30 → t = 9,95… → nach rund 10 Jahren.
  Mündlich: Einheitenfalle (m vs. cm) ansprechen; Lösungsweg mit Logarithmus zeigen.
• KL23_KP2_P03 · Aufgabe 3 „Hitzefalle Auto“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Berechnen Sie, nach welcher Zeit im Innenraum des Autos eine Temperatur von 46 °C erreicht wird.
  Lösung: 60 − 28·e^(−0,05t) = 46 → e^(−0,05t) = 0,5 → t = 13,86… ≈ 13,9 min.
  Mündlich: Ansatz T(t) = 46 erklären, Umformung bis e^(−0,05t) = 0,5 zeigen; Ergebnis mit Einheit min angeben.

Beispiel: KL22_KP1_P05, Aufgabe 2 a) 1), KK S. 4, PP S. 8: „Ermitteln Sie die mittlere Änderungsrate der Höhe des Bierschaums für die ersten 60 Sekunden nach dem Einschenken. Geben Sie das Ergebnis mit der dazugehörigen Einheit an.“ Tabelle: 0 s: 4 cm, 20 s: 2,5 cm, 60 s: 2 cm.

Lösungsweg:

1. Intervall [0; 60]: Nur Anfang und Ende zählen, \(h(0)=4\) und \(h(60)=2\).
2. Differenzenquotient (FS S. 11): \(\frac{h(60)-h(0)}{60-0}=\frac{2-4}{60}=-0{,}033\ldots\)
3. Einheit: cm durch s, also cm/s. GeoGebra: (2-4)/(60-0), mit Funktion (f(60)-f(0))/(60-0).

So sagst du es mündlich: „Ich rechne Endwert minus Anfangswert durch die Zeitdauer. Die Höhe des Bierschaums nimmt in den ersten 60 Sekunden durchschnittlich um rund 0,03 cm pro Sekunde ab.“

Typischer Fehler: das Minus oder die Einheit (cm/s, nicht cm) weglassen oder durch die falsche Zeit teilen: Bei [2; 5] ist der Nenner 3, nicht 5.

Beispiel: KL24_KP1_P01, Aufgabe 2 b) 1), KK S. 4, PP S. 7: „Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang.“ \(\frac{300-600}{2020-2010}=-30\) (Tiere einer seltenen Art). Gegenstück mit Strich: KL24_KP2_P01, Aufgabe 3 a) 2), KK S. 5, PP S. 9: \(m'(0)=0{,}5\) (Masse eines Pilzes in g, t in h).

Lösungsweg:

1. Bruch mit zwei Zeitpunkten = mittlere Änderungsrate (Zeitraum); Strich wie bei \(m'(0)\) = momentane Änderungsrate (Zeitpunkt).
2. Einheit: oben pro unten (Tiere pro Jahr, g pro h).
3. Vorzeichen: minus = Abnahme, plus = Zunahme. Nachrechnen: (300-600)/(2020-2010) ergibt −30.

So sagst du es mündlich: „Die Anzahl der Tiere hat von 2010 bis 2020 durchschnittlich um 30 Tiere pro Jahr abgenommen.“ Und: „Zu Beginn der Messung nimmt die Masse des Pilzes momentan um 0,5 g pro Stunde zu.“

Typischer Fehler: „durchschnittlich“ und „momentan“ vertauschen oder „30 Tiere weniger“ sagen: −30 gilt pro Jahr, insgesamt sind es 300 weniger.

Beispiel: KL23_KP2_P01, Aufgabe 2 a) 2), KK S. 4, PP S. 7: „Berechnen Sie den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von h im Punkt P.“ \(h(x)=0{,}00125\cdot x^2-0{,}1\cdot x\), \(P=(120\mid 6)\).

Lösungsweg:

1. Ableiten mit der Potenzregel (FS S. 13): \(h'(x)=0{,}0025\cdot x-0{,}1\).
2. Steigung der Tangente = Ableitung an der Stelle: \(h'(120)=0{,}2\). GeoGebra: h(x)=0.00125x^2-0.1x, dann h'(120).
3. Winkel mit \(k=\tan(\alpha)\) (FS S. 9): \(\alpha=\arctan(0{,}2)=11{,}30\ldots°\). GeoGebra: atan(h'(120))/°.
4. Tangentengleichung: Tangente(120, h) liefert \(y=0{,}2\cdot x-18\).

So sagst du es mündlich: „Die Steigung der Tangente ist die Ableitung an der Stelle 120, also 0,2. Weil tan(α) gleich der Steigung ist, beträgt der Steigungswinkel rund 11,3 Grad.“

Typischer Fehler: \(h(120)\) statt \(h'(120)\) nehmen oder den Rechner auf Radiant lassen (dann steht 0,197 da). Momentane Änderungsrate geht genauso: \(p'(4)\approx-24{,}7\) Euro pro Monat (KL26_KP1_P04, 3 b) 1)).

Beispiel: KL25_KP2_P01, Aufgabe 2 b) 1), KK S. 4, PP S. 7: „Ermitteln Sie die maximale Geschwindigkeit des Autos.“ \(v(t)=-\frac{1}{192}\cdot t^3+\frac{5}{32}\cdot t^2\) mit \(0\le t\le 30\) (t in s, v(t) in m/s).

Lösungsweg:

1. Am Maximum ist die Tangente waagrecht: \(v'(t)=-\frac{1}{64}\cdot t^2+\frac{5}{16}\cdot t=0\).
2. Lösungen: \(t=0\) (Start) und \(t=20\) s.
3. Wert: \(v(20)=20{,}83\ldots\) m/s. Maximum, weil \(v''(20)<0\).
4. GeoGebra: v(t)=-1/192*t^3+5/32*t^2, dann Extremum(v, 0, 30) → A = (20, 20.83): erste Zahl = Stelle, zweite = Wert.

So sagst du es mündlich: „Am Maximum hat der Graph eine waagrechte Tangente, also setze ich \(v'(t)=0\) und erhalte \(t=20\) s. Die maximale Geschwindigkeit ist der Funktionswert \(v(20)\), also rund 20,8 m/s.“

Typischer Fehler: Stelle und Wert verwechseln: 20 s ist der Zeitpunkt, gefragt ist die Geschwindigkeit. Größte Steigung gesucht (KL26_KP1_P02, 3 a) 2))? Dann \(f''(x)=0\), also Wendepunkt(f); Ränder prüfen.

Beispiel: KL26_KP1_P04, Aufgabe 3 a) 2), KK S. 6, PP S. 10: „Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a und b.“ \(E(x)=a\cdot x^2+b\cdot x\); der maximale Erlös von 97 300 GE wird bei 340 ME erzielt.

Lösungsweg:

1. Allgemein ableiten: \(E'(x)=2\cdot a\cdot x+b\).
2. Der Punkt liegt auf dem Graphen. I: \(E(340)=97\,300\), also \(a\cdot 340^2+b\cdot 340=97\,300\).
3. Am Maximum ist die Tangente waagrecht. II: \(E'(340)=0\), also \(2\cdot a\cdot 340+b=0\).
4. Nur wenn verlangt lösen: \(a\approx-0{,}842\), \(b\approx 572{,}4\). GeoGebra-CAS: Löse({a*340^2+b*340=97300, 2*a*340+b=0}, {a, b}).

So sagst du es mündlich: „Das Erlösmaximum gibt zwei Bedingungen: Bei 340 ME beträgt der Erlös 97 300 GE, und dort ist die Tangente waagrecht, der Grenzerlös also 0 GE pro ME. Das sind die Gleichungen I und II.“

Typischer Fehler: nur die Punktgleichung aufschreiben und \(E'(340)=0\) vergessen. Bei einem Wendepunkt gilt \(f''(x)=0\), bei vorgegebener Steigung \(f'(x)=k\).

Beispiel: KL24_KP2_P01, Aufgabe 2 a) 2), KK S. 4, PP S. 7: „Berechnen Sie den Flächeninhalt der in der obigen Abbildung grau markierten Fläche.“ Grundfläche eines Kinderbeckens, symmetrisch zur x-Achse, oben begrenzt durch \(f(x)=\frac{10}{189}\cdot x^3-\frac{55}{63}\cdot x^2+\frac{80}{21}\cdot x\), rechts durch \(x=10\).

Lösungsweg:

1. Grenzen aus der Abbildung: von 0 bis 10.
2. Symmetrie: obere Hälfte mal 2; f liegt über der x-Achse, also Integral = Fläche (FS S. 13).
3. \(A=2\cdot\int_0^{10} f(x)\,dx=63{,}49\ldots\approx 63{,}5\) m². GeoGebra: 2*Integral(f, 0, 10).
4. Nur Formel verlangt? Bei zwei Graphen oben minus unten, z. B. KL24_KP1_P02, 3 a) 1): \(A=\int_{x_1}^{x_2}(g(x)-f(x))\,dx\), in GeoGebra IntegralZwischen(g, f, a, b).

So sagst du es mündlich: „Die Fläche ist symmetrisch zur x-Achse, also berechne ich die Fläche unter f von 0 bis 10 und verdopple sie. Die Grundfläche des Beckens beträgt rund 63,5 m².“

Typischer Fehler: Teile unter der x-Achse geben ein negatives Integral: getrennt rechnen, Beträge addieren. Oft vergessen: der Faktor 2 bei Symmetrie und Rechtecke oder Dreiecke, die dazu- oder wegkommen.

Beispiel: KL24_KP3_P01, Aufgabe 3 b) 1), KK S. 6, PP S. 10: „Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang.“ \(\int_0^{365} p(t)\,dt=475\,000\); p(t) = Anzahl der pro Tag abgefertigten Pakete, t in Tagen ab Beginn 2022.

Lösungsweg:

1. p ist eine Rate (pro Tag); ihr Integral ist die Gesamtmenge im Zeitraum.
2. Einheit: Pakete pro Tag mal Tage = Pakete.
3. Grenzen übersetzen: 0 bis 365 = das ganze Jahr 2022.
4. Ausrechnen: Integral(p, 0, 365). Genauso Weg aus Geschwindigkeit: \(\ell=\int_0^{30} v(t)\,dt\) (KL25_KP2_P01, 2 a) 1)).

So sagst du es mündlich: „p gibt Pakete pro Tag an, das Integral summiert das über 365 Tage. Im Jahr 2022 wurden in diesem Verteilzentrum insgesamt 475 000 Pakete abgefertigt.“

Typischer Fehler: das Integral mit einem Funktionswert verwechseln: \(p(365)\) wären die Pakete pro Tag am Jahresende. Die Einheit ist Pakete, nicht Pakete pro Tag.

Beispiel: KL23_KP2_P03, Aufgabe 2 a) 3), KK S. 4, PP S. 7: „Tragen Sie die fehlenden Zeichen („<“, „>“ oder „=“) in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.“ h′(4) ☐ 0 und h″(4) ☐ 0; der Graph von h hat an der Stelle 4 eine horizontale Tangente und ist dort rechtsgekrümmt.

Lösungsweg:

1. Horizontale Tangente heißt Steigung null: \(h'(4)=0\).
2. Rechtsgekrümmt (Form ∩) heißt \(h''(4)<0\); linksgekrümmt (Form ∪) hieße \(h''>0\).
3. Graph von f′ skizzieren (KL26_KP1_P04, 2 b) 1)): f steigt → f′ über der x-Achse, f fällt → f′ darunter; Extremstelle von f → Nullstelle von f′; Wendestelle von f → Extremstelle von f′.
4. GeoGebra-Kontrolle: f'(x) und f''(x) zeichnen lassen.

So sagst du es mündlich: „Eine horizontale Tangente bedeutet Steigung null, also h′(4) = 0. Rechtsgekrümmt heißt, die Steigung nimmt ab, also h″(4) < 0. An der Stelle 4 liegt ein Hochpunkt.“

Typischer Fehler: f′ und f″ vertauschen: f′ zeigt Steigen und Fallen, f″ die Krümmung. Eselsbrücke: ∪ lächelt = positiv, ∩ schaut traurig = negativ.

• KL25_KP2_P02 · Aufgabe 2 „Wasserhöhe eines Teiches“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Interpretieren Sie das Ergebnis der unten stehenden Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang. Geben Sie dabei die entsprechende Einheit an. Es gilt: t1 = 0 Tage und t2 = 1,5 Tage (h(t2) – h(t1))/(t2 – t1) ≈ 0,41
  Lösung: Die Wasserhöhe steigt in den ersten 1,5 Tagen durchschnittlich um rund 0,41 m pro Tag.
  Mündlich: Mittlere von momentaner Änderung abgrenzen; Intervall [0; 1,5] und Einheit m/Tag nennen; positives Vorzeichen als Anstieg deuten.
• KL25_KP2_P01 · Aufgabe 2 „Autofahrt“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Zeigen Sie mithilfe von v, dass im Zeitintervall [0; 30] die durchschnittliche Beschleunigung 0 m/s² beträgt.
  Lösung: v(0) = v(30) = 0 → (v(30) − v(0))/(30 − 0) = 0 m/s².
  Mündlich: Erklären, dass die mittlere Beschleunigung die Geschwindigkeitsänderung pro Zeit ist (nicht der Mittelwert von v); Deutung: Start und Ende im Stillstand, dazwischen Beschleunigen und Bremsen.
• KL25_KP2_P03 · Aufgabe 3 „Preisentwicklung“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Tragen Sie die fehlenden Zeichen („<“, „=“ oder „>“) in die dafür vorgesehenen Kästchen ein. p1(4) □ p2(4); p1′(4) □ p2′(4)
  Lösung: p1(4) > p2(4); p1′(4) > p2′(4) (Kontrolle: p1′ = 3,75, p2′(4) ≈ 3,09).
  Mündlich: Begründen, warum p2 bei t = 4 flacher ist (beide Graphen haben auf [0; 16] dieselbe mittlere Steigung, die exponentielle Steigung nimmt zu); Tangenten skizzieren.
• KL25_KP2_P02 · Aufgabe 2 „Wasserhöhe eines Teiches“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Stellen Sie eine Gleichung der linearen Funktion g auf.
  Lösung: h(5) = 4,6; k = h′(5) = −0,4; d = 4,6 + 0,4 · 5 = 6,6 → g(t) = −0,4 · t + 6,6.
  Mündlich: Erklären, warum „gleiche Steigung“ k = h′(5) bedeutet; Bedeutung von −0,4 (Wasserhöhe sinkt um 0,4 m pro Tag) und 6,6 deuten; Punktprobe g(5) = 4,6.
• KL25_KP2_P03 · Aufgabe 2 „Kinderzeichnung“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Ermitteln Sie die Koordinaten des Hochpunkts H.
  Lösung: h′(x) = 0,5x³ − 4,5x² + 11,25x − 6,75 = 0 → x = 3 (x ≈ 0,87; 5,12 sind Tiefstellen); h(3) = −3 → H = (3 | −3).
  Mündlich: Erklären, warum aus drei Lösungen von h′ = 0 die mittlere der Hochpunkt ist (Graph, Vorzeichenwechsel oder h″(3) = −2,25 < 0); y-Koordinate h(3) nicht vergessen.
• KL25_KP2_P01 · Aufgabe 2 „Autofahrt“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Ermitteln Sie die maximale Geschwindigkeit des Autos.
  Lösung: v′(t) = −1/64·t² + 5/16·t = 0 → t = 20 (t = 0); v(20) = 20,83… → maximale Geschwindigkeit rund 20,8 m/s.
  Mündlich: Begründen, warum v′ = 0 die Extremstelle liefert und dass es ein Maximum ist (Vorzeichenwechsel, v″(20) < 0 oder Randwerte 0); Extremstelle t = 20 s von Extremwert 20,8 m/s unterscheiden; Einheit m/s.
• KL25_KP2_P03 · Aufgabe 2 „Kinderzeichnung“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Begründen Sie, warum der Inhalt der in der obigen Abbildung grau markierten Fläche nicht mit dem nachstehenden Ausdruck berechnet werden kann. ∫₀⁶ f(x) dx
  Lösung: Mit ∫₀⁶ f(x) dx werden die zwei Dreiecke unten links und rechts, die nicht grau markiert sind, mitberechnet (Integral begrenzt durch f, x-Achse, x = 0 und x = 6).
  Mündlich: Am Bild zeigen, welche Fläche das Integral beschreibt und welche Dreiecke zu viel sind; ggf. Korrektur skizzieren (Integral minus Dreiecksflächen).
• KL25_KP2_P02 · Aufgabe 2 „Wasserhöhe eines Teiches“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Ermitteln Sie diese mittlere Wasserhöhe.
  Lösung: (1/5) · ∫₀⁵ h(t) dt = 5,13… → mittlere Wasserhöhe rund 5,1 m.
  Mündlich: Zusammenhang Fläche ↔ Integral erklären; Plausibilität: Mittelwert 5,1 m liegt zwischen Minimum (≈ 4,6 m) und Maximum (≈ 5,4 m); Einheit m (m·Tage/Tage).
• KL25_KP2_P01 · Aufgabe 2 „Autofahrt“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Stellen Sie eine Gleichung zur Berechnung von ℓ auf.
  Lösung: ℓ = ∫₀³⁰ v(t) dt (mit der Funktion aus b: ℓ = 351,56… m).
  Mündlich: Erklären, warum das Integral der Geschwindigkeit den Weg liefert (Fläche unter dem v-t-Graphen, Einheit m/s · s = m) und warum die Grenzen 0 und 30 sind; da v ≥ 0, ist kein Betrag nötig.
• KL24_KP2_P02 · Aufgabe 2 „Seilbahn“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung den bei dieser Fahrt zurückgelegten Weg im Zeitintervall [0; 11].
  Lösung: s = 11·5 − (11+5)/2 · 4,5 = 19 m (bzw. 8,25 + 2,5 + 8,25).
  Mündlich: Warum die Fläche unter v(t) den Weg liefert (Einheit m/s · s = m); Flächenzerlegung zeigen.
• KL24_KP2_P02 · Aufgabe 2 „Seilbahn“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Zeichnen Sie im nachstehenden Diagramm den Graphen der zugehörigen Beschleunigung-Zeit-Funktion ein.
  Lösung: a = −1,5 m/s² auf [0; 3], a = 0 auf [3; 8], a = 1,5 m/s² auf [8; 11]; Sprungstellen irrelevant.
  Mündlich: a als Ableitung von v begründen; Vorzeichen beim Bremsen (negativ) erklären.
• KL23_KP2_P03 · Aufgabe 2 „Garten“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Tragen Sie die fehlenden Zeichen („<“, „>“ oder „=“) in die dafür vorgesehenen Kästchen ein. h′(4) □ 0 h″(4) □ 0
  Lösung: h′(4) = 0; h″(4) < 0.
  Mündlich: Erklären, was rechtsgekrümmt bedeutet (h′ nimmt ab) und warum h″ < 0 folgt; ggf. Hochpunkt erwähnen.
• KL21_KP1_P08 · Aufgabe 2 „Fahrradausflug“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Geben Sie den Funktionstyp der zugehörigen Weg-Zeit-Funktion an.
  Lösung: Polynomfunktion 3. Grades.
  Mündlich: Zusammenhang s′ = v erklären und begründen, warum der Grad um 1 steigt.
• KL22_KP3_P01 · Aufgabe 3 „Lichterkette“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Beschreiben Sie den Fehler, den Karl bei seiner Berechnung gemacht hat.
  Lösung: Bei der inneren Ableitung von e^(−x/2) wurde das Minus nicht berücksichtigt (richtig: f′(x) = e^(x/2) − e^(−x/2)).
  Mündlich: Kettenregel an e^(−x/2) vorzeigen; erklären, warum der Faktor 2 und die 1/2 sich kürzen, das Minus aber bleibt.
• KL22_KP1_P06 · Aufgabe 2 „Drohnenflug“ · Angabe · Lösung
  Auftrag: Zeigen Sie mithilfe der Differenzialrechnung, dass die Funktion f streng monoton steigend ist.
  Lösung: f′(t) = 1,2·e^(−0,04·t) > 0 für alle 0 ≤ t ≤ 60 ⇒ f streng monoton steigend.
  Mündlich: Ableitung vorrechnen (innere Ableitung −0,04 · −30 = 1,2); warum e-Potenz immer positiv ist; Kontext: Geschwindigkeit nimmt ständig zu.