Spickzettel Aufgabe 1: Geometrie und Trigonometrie

Basis: 62 ausgewertete Sets im Format 4 × 3 (Stand 12.10.2026). KK S. / PP S. = PDF-Seite von Angabe / Lösung, FS S. = Seite der offiziellen Formelsammlung.

Woran du den Typ erkennst

Aufgabe 1 mischt meistens Prozentrechnung oder ein Gleichungssystem mit Geometrie: In 55 von 62 Sets steckt mindestens eine Anweisung mit einem rechtwinkligen Dreieck, einer zusammengesetzten Fläche oder einem Körper, fast immer in Aufgabe 1. Typische Kontexte: Zaun am Hang, Rampe, Seilbahn, Rutsche, Höhenwinkel zu Gipfel oder Turm, Grundstück aus Rechteck und Dreiecken, Tunnel aus Rechteck plus Halbkreis, Weinglas, Schüttkegel. Signale: ein eingezeichneter Winkel α, ein markierter rechter Winkel, „Steigung in %“, „Höhenwinkel“, „Formel … mithilfe von …“. Die Skizzen sind fast immer „nicht maßstabgetreu“: nie abmessen, immer rechnen.

Die typischen Handlungsanweisungen

Immer derselbe Ablauf: rechtwinkliges Dreieck suchen (notfalls Lot einzeichnen), Seiten zum Winkel benennen (G = Gegenkathete, A = Ankathete, H = Hypotenuse), Formel wählen, Antwortsatz mit Einheit. Sinus- und Cosinussatz brauchst du nicht (kein Teil-A-Stoff).

1. „Berechnen Sie den Winkel α.“ (in 11 von 62 Sets)

Beispiel: KL26_KP1_P02, Aufgabe 1 b) 1), KK S. 3, PP S. 5: „Berechnen Sie den Winkel α.“ Weinglas von der Seite: halbe Breite an der Weinoberfläche 4,3 cm, Weinhöhe 8,1 cm, darunter noch 2,4 cm bis zur Spitze des Kegels.

Lösungsweg: 1. Dreieck aus Symmetrieachse, Weinoberfläche und Glaswand einzeichnen (rechter Winkel an der Achse). α am Rand ist so groß wie der Winkel an der Weinoberfläche (parallele Linien). 2. Seiten benennen: A = 4,3 cm, G = 8,1 + 2,4 = 10,5 cm. 3. G und A bekannt, also Tangens (FS S. 7): \(\tan(\alpha)=\frac{10{,}5}{4{,}3}\). 4. \(\alpha=\arctan\left(\frac{10{,}5}{4{,}3}\right)\) = 67,72…° ≈ 67,7°. Eingabe: tan⁻¹(10.5/4.3) im Grad-Modus oder atan(10.5/4.3)/° in GeoGebra.

So sagst du es mündlich: „Ich verwende das rechtwinklige Dreieck zwischen Symmetrieachse und Glaswand. Gegenüber von α liegt die ganze Höhe bis zur Spitze, 10,5 cm, anliegend die halbe Breite 4,3 cm, darum der Tangens. Der Winkel α beträgt rund 67,7 Grad.“

Typischer Fehler: G und A vertauschen (falsch: 22,3°), nur 8,1 cm nehmen (falsch: 62,0°) oder der Rechner steht auf Radiant (dann erscheint 1,18).

2. „Berechnen Sie x.“ – eine Länge (in 11 von 62 Sets)

Beispiel: KL23_KP1_P01, Aufgabe 1 a) 2), KK S. 3, PP S. 5: „Berechnen Sie x.“ Klettergerüst (Höhe \(42\cdot\sqrt{3}\) cm, Basis 84 cm) mit gerader Rutsche von der Spitze zum Boden, Neigungswinkel 35°; x reicht vom linken Fuß bis zum Ende der Rutsche.

Lösungsweg: 1. Lot von der Spitze zur Basismitte zeichnen: rechtwinkliges Dreieck, die Rutsche ist die Hypotenuse. 2. Zum 35°-Winkel: G = \(42\cdot\sqrt{3}\) cm, A = \(x-42\) cm, weil das Lot 42 cm vom linken Fuß entfernt steht. 3. Tangens (FS S. 7): \(\tan(35^\circ)=\frac{42\cdot\sqrt{3}}{x-42}\), also \(x=42+\frac{42\cdot\sqrt{3}}{\tan(35^\circ)}\). 4. x = 145,89… cm ≈ 145,9 cm. GeoGebra: 42+42*sqrt(3)/tan(35°).

So sagst du es mündlich: „Mit dem Lot von der Spitze entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, die Rutsche ist die Hypotenuse. Zum 35°-Winkel kenne ich die Gegenkathete 42 mal Wurzel 3 cm, die Ankathete ist x minus 42, also Tangens. x ist rund 146 cm lang.“

Typischer Fehler: ganz x als Ankathete nehmen (falsch: 103,9 cm).

3. „Stellen Sie mithilfe von … eine Formel … auf.“ mit sin, cos, tan (in 25 von 62 Sets – der häufigste Auftrag)

Beispiel: KL26_KP1_P04, Aufgabe 1 b) 1), KK S. 3, PP S. 5: „Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Entfernung L auf. Verwenden Sie dabei H, h und α.“ Klaus sieht von einem Punkt in der Höhe h die Spitze eines Turms (Höhe H) unter dem Höhenwinkel α; L ist die waagrechte Entfernung.

Lösungsweg: 1. Dreieck markieren: Waagrechte auf Höhe h, Turm, Sichtlinie. 2. G = \(H-h\) (nur der Turmteil über der Waagrechten), A = \(L\). 3. \(\tan(\alpha)=\frac{H-h}{L}\) (FS S. 7). 4. Mal L, dann durch \(\tan(\alpha)\): \(L=\frac{H-h}{\tan(\alpha)}\).

So sagst du es mündlich: „Der Höhenwinkel wird ab der Waagrechten auf Höhe h gemessen, deshalb ist die Gegenkathete H minus h und nicht H. L liegt am Winkel an, darum Tangens, und dann forme ich nach L um. L hat dieselbe Längeneinheit wie H und h.“

Typischer Fehler: H statt \(H-h\) oder falsch umgeformt (\(L=\tan(\alpha)\cdot(H-h)\)). Ist ein Winkel gesucht, endet die Formel mit arctan, arcsin oder arccos, z. B. \(\beta=2\cdot\arctan\left(\frac{r}{h}\right)\) beim Schüttkegel (KL26_KP1_P05 1 b) 1)).

4. Fläche oder Volumen: Formel aufstellen oder ausrechnen (in 23 von 62 Sets)

Beispiel: KL23_KP2_P01, Aufgabe 1 a) 1), KK S. 3, PP S. 5: „Stellen Sie mithilfe von b und h eine Formel zur Berechnung von V auf.“ Tunnel, 426,5 m lang; Querschnitt = Rechteck (Breite b, Höhe h) mit aufgesetztem Halbkreis; V = Luftvolumen.

Lösungsweg: 1. Querschnitt zerlegen: Rechteck \(b\cdot h\) plus Halbkreis mit Radius \(\frac{b}{2}\). 2. Halbkreis = halbe Kreisfläche (FS S. 6): \(\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{b}{2}\right)^2\cdot\pi\). 3. Prisma (FS S. 6): Volumen = Grundfläche mal Länge. 4. \(V=426{,}5\cdot\left(b\cdot h+\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{b}{2}\right)^2\cdot\pi\right)\) in m³.

So sagst du es mündlich: „Der Tunnel ist ein Prisma, also Querschnittsfläche mal Länge 426,5 m. Den Querschnitt zerlege ich in ein Rechteck b mal h und einen Halbkreis, dessen Radius die halbe Breite ist. V kommt in Kubikmetern heraus.“

Typischer Fehler: b statt \(\frac{b}{2}\) als Radius oder das \(\frac{1}{2}\) beim Halbkreis vergessen. Zahlenvariante KL24_KP2_P02 1 b) 1), „Berechnen Sie das Volumen der dazu benötigten Erde.“, Katheten aus 200 cm und 15°: \(V=\frac{200\cdot\sin(15^\circ)\cdot 200\cdot\cos(15^\circ)}{2}\cdot 225\) = 1 125 000 cm³ = 1,125 m³.

5. „Kennzeichnen Sie …“ oder „Interpretieren Sie den Ausdruck …“ – Formel rückwärts lesen (in 14 von 62 Sets)

Beispiel: KL25_KP1_P01, Aufgabe 1 a) 1), KK S. 3, PP S. 5: „Interpretieren Sie den nachstehenden Ausdruck im gegebenen Sachzusammenhang. 1 390 – 1 161 · sin(α)“. Das 1 161 m lange Seil verläuft gerade mit dem Steigungswinkel α von der Talstation zur Mittelstation (Seehöhe 1 390 m).

Lösungsweg: 1. Skizze: Seil = Hypotenuse, α unten bei der Talstation. 2. Wegen \(\sin(\alpha)=\frac{G}{H}\) (FS S. 7) ist \(1161\cdot\sin(\alpha)\) die Gegenkathete, also der Höhenunterschied zwischen Tal- und Mittelstation. 3. 1 390 m minus Höhenunterschied = Seehöhe der Talstation.

So sagst du es mündlich: „1 161 mal Sinus α ist die Gegenkathete zum Steigungswinkel, also der Höhenunterschied zwischen Tal- und Mittelstation. Ziehe ich ihn von 1 390 m ab, erhalte ich die Höhe der Talstation über dem Meeresspiegel in Metern.“

Typischer Fehler: den Term nur vorlesen statt Bedeutung und Einheit nennen. Kennzeichnen geht genauso: Bei \(\alpha=\arctan\left(\frac{a}{c}\right)\) (KL26_KP1_P03 1 a) 2)) ist a gegenüber, c anliegend, also liegt α unten rechts zwischen c und der Diagonale.

6. „Zeigen Sie …“ oder „Überprüfen Sie nachweislich …“ (in 13 von 62 Sets)

Beispiel: KL24_KP2_P01, Aufgabe 1 c) 1), KK S. 3, PP S. 5: Johanna behauptet: „Bei einer Steigung von 120 % ist der Steigungswinkel doppelt so groß wie bei einer Steigung von 60 %.“ – „Überprüfen Sie nachweislich, ob diese Behauptung stimmt.“

Lösungsweg: 1. Steigung = Tangens des Steigungswinkels (FS S. 9: \(k=\tan(\alpha)\)), also 120 % = 1,2 und 60 % = 0,6. 2. \(\arctan(1{,}2)\) = 50,19° und \(\arctan(0{,}6)\) = 30,96° (GeoGebra: atan(1.2)/°). 3. Vergleich: 2 · 30,96° = 61,93° ≠ 50,19°, die Behauptung ist falsch.

So sagst du es mündlich: „Die Steigung ist der Tangens des Steigungswinkels. Zu 120 % gehören 50,2°, zu 60 % gehören 31,0°; das Doppelte wären 61,9°, also stimmt die Behauptung nicht. Der Tangens wächst nicht proportional zum Winkel.“

Typischer Fehler: \(\arctan(120)\) statt \(\arctan(1{,}2)\) rechnen (falsch: 89,5°). Merke für „doppelt so groß?“: Längen mal k ergeben Flächen mal \(k^2\), Volumen mal \(k^3\) (Schüttkegel KL26_KP1_P05 1 b) 2): \(1{,}1^3=1{,}331\), also um 33,1 % größer).

Formeln, die du brauchst

GeoGebra/Taschenrechner in 5 Schritten

1. Grad-Modus einstellen. Taschenrechner im Setup/Mode auf Grad (Anzeige „D“ oder „DEG“). Test: sin(30) muss 0,5 ergeben; −0,988 heißt Radiant. In GeoGebra hinter jeden Winkel ° (Bildschirmtastatur) oder deg schreiben: sin(30°) ergibt 0,5.
2. Winkel aus zwei Seiten: am Rechner SHIFT (bzw. 2nd) + tan, also tan⁻¹(10.5/4.3) ≈ 67,73. In GeoGebra atan(10.5/4.3)/°, genauso asin(…)/° und acos(…)/°; das /° macht aus dem Bogenmaß eine Gradzahl.
3. Seite aus Winkel und Seite: z. B. 2*cos(15°) = 1,93. Dezimalpunkt statt Komma, * für „mal“, Wurzel als sqrt(3).
4. Gleichung lösen lassen: NLöse(tan(35°)=42*sqrt(3)/(x-42), x) liefert x = 145,89 (englisch NSolve); Löse gibt hier nur einen exakten Term aus.
5. Kontrollieren und antworten: Kathete kürzer als Hypotenuse? Winkel zwischen 0° und 90°? Erst am Schluss runden, dann Antwortsatz mit Einheit.

Mini-Training (10 Minuten)

Kurzlösung abdecken, selbst rechnen, Antwortsatz laut sagen.

1. KL22_KP1_P01, Aufgabe 1 a) 1), KK S. 3, PP S. 5: „Berechnen Sie den in der obigen Abbildung eingezeichneten Winkel φ.“ Rechtwinkliges Dreieck: Kathete 3 m liegt an φ, Kathete 1,5 m gegenüber. Kurzlösung: \(\tan(\varphi)=\frac{1{,}5}{3}\), also φ = 26,57° ≈ 26,6°.
2. KL22_KP2_P03, Aufgabe 1 a) 2), KK S. 3, PP S. 5: „Berechnen Sie den horizontalen Abstand x von der Mitte des einen Pfostens bis zur Mitte des anderen Pfostens.“ Die Pfosten stehen entlang eines 15°-Hangs 2 m auseinander. Kurzlösung: 2 m ist die Hypotenuse, x die Ankathete: \(x=2\cdot\cos(15^\circ)\) ≈ 1,93 m.
3. KL23_KP1_P02, Aufgabe 1 b) 1), KK S. 3, PP S. 5: „Zeigen Sie rechnerisch, dass der Winkel β ein rechter Winkel ist.“ Dreieck mit den Seiten 0,48 dm, 0,90 dm und 1,02 dm; β liegt gegenüber der längsten Seite. Kurzlösung: \(0{,}48^2+0{,}90^2=1{,}0404=1{,}02^2\), nach der Umkehrung des Satzes von Pythagoras ist β = 90°.

Wenn du steckenbleibst

Zeichne die Skizze groß ab, markiere den rechten Winkel und beschrifte Hypotenuse, Gegen- und Ankathete zum gesuchten Winkel – so zeigst du, dass du die Situation verstehst. Sag den Ansatz laut und zeig die Formel in der Formelsammlung (S. 5–7), etwa: „Ich kenne Gegen- und Ankathete, also gilt tan(α) = G durch A.“ Hängst du trotzdem, sag offen, wo es hakt, und geh zur nächsten Anweisung: Alle 12 Anweisungen zählen gleich, und schon 6 vollständig gelöste ergeben ein Genügend.

Spickzettel Aufgabe 1: Prozent, Formeln, Gleichungssysteme, Einheiten

Basis: alle 62 Kompensationssets im Format 4 × 3 (2021–2026). Zitierte Angaben: KK PDF-Seite 3, Lösungen: PP PDF-Seite 5.

Woran du den Typ erkennst

Aufgabe 1 ist fast immer eine Textaufgabe ohne Funktion (61 von 62 Sets: Algebra/Geometrie oder Zahlen und Maße). Prozent kommt in 50 von 62 Sets vor, Gleichungssysteme in 20 (2024–2026: 13 von 25), Formeln aus dem Text in 22, Einheiten in 25. Signalwörter: „um … %“, „enthalten“, „insgesamt“, „doppelt so viel“, „Gleichungssystem“, „eine Formel … auf“ oder eine Zieleinheit wie „in km/h“. Meist ist auch ein rechtwinkliges Dreieck dabei – dafür gibt es den eigenen Zettel Geometrie und Trigonometrie.

Die typischen Handlungsanweisungen

Grundregel: Prozent wird ein Faktor: +20 % → \(\cdot\,1{,}2\), −20 % → \(\cdot\,0{,}8\), −90 % → \(\cdot\,0{,}1\), +125 % → \(\cdot\,2{,}25\).

1. Grundwert rückwärts: „Berechnen Sie den Preis … ohne …“ (8 von 62 Sets)

Beispiel (KL25_KP2_P01, Aufgabe 1 a2): „An einem bestimmten Tisch werden für das Essen 23,10 Euro bezahlt. In diesem Preis für das Essen sind 10 % Umsatzsteuer enthalten. Berechnen Sie den Preis für das Essen ohne Umsatzsteuer.“

Lösungsweg 1. 100 % ist der Preis ohne Steuer – genau der ist gesucht. 2. Ansatz: \(G\cdot1{,}1=23{,}10\) 3. \(G=23{,}10:1{,}1=21\) Euro 4. Probe: \(21\cdot1{,}1=23{,}10\) ✓

So sagst du es mündlich: „Der Nettopreis ist 100 %, die bezahlten 23,10 Euro sind 110 %. Darum dividiere ich durch 1,1 und erhalte 21 Euro.“

Typischer Fehler: \(23{,}10\cdot0{,}9=20{,}79\) – falsch, denn die 10 % beziehen sich auf den Nettopreis. Vorwärts als Faktorkette (KL23_KP2_P01, 1 c1): \(20\,000\,000\cdot0{,}025\cdot1{,}4=700\,000\) (−97,5 %, danach +40 %).

2. „Berechnen Sie, um wie viel Prozent … niedriger ist …“ (5 von 62, inkl. „relative Änderung“)

Beispiel (KL25_KP3_P01, Aufgabe 1 a1): Einzeltickets kosten 15 + 15 + 7,50 Euro, das Familienticket 30 Euro. „Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Preis für 1 Familienticket niedriger ist als die Summe der Preise der einzelnen Tickets.“

Lösungsweg 1. Bezugswert ist, was nach „als“ steht: \(15+15+7{,}50=37{,}50\) Euro. 2. Relative Änderung (Formelsammlung S. 11): \(\frac{30-37{,}50}{37{,}50}=-0{,}2\) 3. Also um 20 % niedriger.

So sagst du es mündlich: „Verglichen wird mit der Summe der Einzelpreise, darum stehen 37,50 Euro im Nenner. Die Ersparnis von 7,50 Euro geteilt durch 37,50 Euro ergibt 0,2, also 20 %.“

Typischer Fehler: Falscher Bezugswert: \(7{,}50:30=0{,}25\), also „25 %“. Und: Von 20 % auf 25 % sind es 5 Prozentpunkte, aber +25 Prozent.

3. „Zeigen Sie, dass … um … % größer ist“ bzw. „Überprüfen Sie nachweislich …“ (20 von 62 – häufigster Prozent-Auftrag)

Beispiel (KL25_KP1_P02, Aufgabe 1 a3): Eine kreisförmige Öffnung hat den Flächeninhalt A1. „Bei einem anderen Vogelhaus ist der Radius der kreisförmigen Öffnung um 20 % größer. Diese kreisförmige Öffnung hat den Flächeninhalt A2. Zeigen Sie, dass A2 um 44 % größer als A1 ist.“

Lösungsweg 1. Kreisformel (Formelsammlung S. 6): \(A_1=r^2\cdot\pi\) 2. Neuen Radius \(1{,}2\cdot r\) einsetzen: \(A_2=(1{,}2\cdot r)^2\cdot\pi=1{,}44\cdot r^2\cdot\pi=1{,}44\cdot A_1\) 3. Faktor 1,44 heißt: um 44 % größer.

So sagst du es mündlich: „Ich setze 1,2 · r in die Kreisformel ein. Weil r im Quadrat steht, wird auch der Faktor quadriert: 1,2² = 1,44, also 44 % mehr Fläche.“

Typischer Fehler: Faktor nicht quadrieren oder nur mit Zahlen statt allgemein rechnen. Gleiches Muster: KL22_KP2_P01, 1 b1 (Zylinder: \(1{,}1^2=1{,}21\)) und KL22_KP1_P01, 1 b1 (\(t=\frac{s}{v}\): \(\frac{1{,}3}{0{,}8}=1{,}625\), also +62,5 %, nicht 30 % + 20 %).

4. „Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung von …“ (15 von 62)

Beispiel (KL26_KP1_P02, Aufgabe 1 a1): Rotwein (a Euro) und Weißwein (b Euro) kosten zusammen 190 Euro; verkauft „mit 15 % Gewinn“ bzw. „mit 4 % Verlust“ bringen sie insgesamt 205,20 Euro. „Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung von a und b.“

Lösungsweg 1. Unbekannte mit Einheit nennen: a, b = Einkaufspreise in Euro. 2. Satz mit „insgesamt“ → Gleichung. I: \(a+b=190\) 3. Prozent als Faktor. II: \(1{,}15\cdot a+0{,}96\cdot b=205{,}2\) 4. Nur wenn „berechnen/ermitteln“ dasteht: Löse({a + b = 190, 1.15*a + 0.96*b = 205.2}, {a, b}) → {{a = 120, b = 70}}, dann Probe durch Einsetzen.

So sagst du es mündlich: „Gleichung I ist der Einkauf: zusammen 190 Euro. Gleichung II ist der Verkauf: 15 % Gewinn heißt Faktor 1,15, 4 % Verlust Faktor 0,96, jeweils auf den Einkaufspreis.“

Typischer Fehler: \(0{,}04\cdot b\) statt \(0{,}96\cdot b\); oder „5-mal so viel Härtungsmittel wie Farblack“ als \(F=5\cdot H\) statt \(H=5\cdot F\) (KL23_KP1_P03, 1 b1).

Extra – Lösungsfälle (4 Sets, alle seit 2024). KL26_KP1_P02, 1 a2: „Begründen Sie, warum mit diesem Gleichungssystem x und y nicht eindeutig bestimmt werden können.“ (\(4x+6y=360\), \(6x+9y=540\)). Antwort: II ist das 1,5-Fache von I, auch rechts → identische Geraden → unendlich viele Lösungen. Schneiden → genau eine Lösung; parallel (nur links ein Vielfaches) → keine. Varianten: KL25_KP2_P01, 1 b1 (Kästchen: 6) und KL23_KP3_P01, 1 c1 (keine Lösung: \(c=8\)).

5. „Stellen Sie mithilfe von … eine Formel zur Berechnung von … auf“ (14 von 62)

„Formen Sie … um“ kommt in den Sets so nicht vor – das Umstellen steckt in diesem Auftrag.

Beispiel (KL22_KP1_P02, Aufgabe 1 a1): Der Quadratmeterpreis „stieg … innerhalb eines Jahres um 8 %“; A = Preis am Anfang, N = Preis am Ende des Jahres. „Stellen Sie mithilfe von N eine Formel zur Berechnung von A auf.“

Lösungsweg 1. Zuerst die sichere Richtung: \(N=A\cdot1{,}08\) 2. Beide Seiten durch 1,08: \(A=\frac{N}{1{,}08}\) 3. CAS-Kontrolle: Löse(N = 1.08*A, A) → {A = 25/27 N}, das ist dasselbe wie \(\frac{N}{1{,}08}\). 4. Probe: \(A=200\) → \(N=216\) → \(216:1{,}08=200\) ✓

So sagst du es mündlich: „Der Endpreis ist der Anfangspreis plus 8 %, also N = A · 1,08. Ich dividiere beide Seiten durch 1,08. A = 0,92 · N wäre falsch, weil sich die 8 % auf den Anfangspreis beziehen.“

Typischer Fehler: \(A=0{,}92\cdot N\). Bei Formeln mit Einheiten hilft die Einheitenprobe, z. B. KL26_KP1_P01, 1 b1: \(t=\frac{30}{0{,}05\cdot G}\) mit \(\frac{\text{m}^3}{\text{m}^2\cdot\text{m/min}}=\text{min}\).

6. „Interpretieren Sie … im gegebenen Sachzusammenhang“ (17 von 62)

Beispiel (KL24_KP2_P03, Aufgabe 1 a1): Thomas liest ein Buch mit 360 Seiten, an jedem Schultag x Seiten, an jedem schulfreien Tag y Seiten. „Interpretieren Sie die Zahlen 9 und 4 in der nachstehenden Gleichung im gegebenen Sachzusammenhang. \(9\cdot x+4\cdot y=360\)“

Lösungsweg 1. Variablen lesen: x, y = Seiten pro Tag. 2. Einheiten rechnen: Zahl · Seiten pro Tag = Seiten, also sind 9 und 4 Anzahlen von Tagen. 3. Ganzen Satz mit Sachbezug sagen (mit Einheit, falls verlangt).

So sagst du es mündlich: „9 ist die Anzahl der Schultage und 4 die Anzahl der schulfreien Tage, an denen Thomas liest. An diesen 13 Tagen liest er zusammen die 360 Seiten des Buchs.“

Typischer Fehler: Nur „9 ist der Koeffizient von x“ sagen oder die Einheit vergessen. Mit Einheit (KL26_KP1_P01, 1 c1): \(2\cdot6\cdot180\cdot0{,}25=540\), kW · h/Tag · Tage · €/kWh = €, also 540 Euro Stromkosten.

7. Einheiten umrechnen (25 von 62)

Beispiel (KL21_KP1_P01, Aufgabe 1 a1): Pro Sekunde fließen rund 2,2 Millionen Liter. „Ergänzen Sie in der nachstehenden Umrechnung die fehlende Zahl.“ \(2{,}2\cdot10^6\) L/s = ___ m³/h

Lösungsweg 1. Zähler: 1 L = \(10^{-3}\) m³, also \(2{,}2\cdot10^6\cdot10^{-3}=2\,200\) m³ pro Sekunde. 2. Nenner: 1 h = 3 600 s, pro Stunde fließt also 3 600-mal so viel. 3. \(2\,200\cdot3\,600=7{,}92\cdot10^6\) m³/h

So sagst du es mündlich: „Ein Liter ist ein Tausendstel Kubikmeter, also mal 10 hoch minus 3. Eine Stunde hat 3 600 Sekunden, also mal 3 600. Das ergibt 7,92 mal 10 hoch 6 Kubikmeter pro Stunde.“

Typischer Fehler: Bei „pro Stunde“ durch 3 600 dividieren, oder 1 cm² = 0,01 m² (richtig: \(10^{-4}\) m², bei Flächen Faktor quadrieren). Merke: m/s → km/h heißt \(\cdot\,3{,}6\), zurück \(:\,3{,}6\).

Formeln, die du brauchst

GeoGebra in 5 Schritten

1. CAS öffnen: Ansicht → CAS. Dezimalpunkt statt Komma (1.15), Mal mit *, Listen in { }. Englische Oberfläche: Solve statt Löse, NSolve statt NLöse.
2. Gleichungssystem lösen: Löse({a + b = 190, 1.15*a + 0.96*b = 205.2}, {a, b}) → {{a = 120, b = 70}}
3. Formel umstellen: Löse(N = 1.08*A, A) → {A = 25/27 N}; Löse(v = s/t, t) → {t = s/v}
4. Prozentrechnung: als Rechnung eingeben: 23.1/1.1 → 21, (30-37.5)/37.5 → −0.2. Mit Gleichung: NLöse(0.6537*G = 3686, G) → {G = 5638.67…} (Löse gäbe einen Bruch).
5. Kontrolle: Ergebnis einsetzen, z. B. 1.15*120 + 0.96*70 → 205.2. Ausgabe {} heißt keine Lösung, eine freie Variable (y = y) heißt unendlich viele.

Mini-Training (10 Minuten)

Je 3 Minuten selbst rechnen, dann vergleichen.

1. KL24_KP1_P05, Aufgabe 1 a2 (Angabe KK PDF-S. 3, Lösung PP PDF-S. 5): Der neue Eingang hat einen um 10 % kleineren Radius. „Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt des Kreises der neuen Hundehütte um 19 % kleiner als jener der oben abgebildeten Hundehütte ist.“ Kurzlösung: \(A_{\text{neu}}=(0{,}9\cdot r)^2\cdot\pi=0{,}81\cdot r^2\pi=0{,}81\cdot A\), also \(1-0{,}81=0{,}19=19\,\%\) kleiner.
2. KL26_KP1_P01, Aufgabe 1 a1 (KK PDF-S. 3, PP PDF-S. 5): Swimmingpool (S) und Whirlpool (W) brauchen zusammen 44 m³ Wasser; W ist „um 90 % kleiner“ als S. „Ermitteln Sie S und W.“ Kurzlösung: \(S+W=44\) und \(W=0{,}1\cdot S\) → \(1{,}1\cdot S=44\) → \(S=40\) m³, \(W=4\) m³ (Falle: \(0{,}9\cdot S\)).
3. KL25_KP1_P01, Aufgabe 1 a2 (KK PDF-S. 3, PP PDF-S. 5): Seillänge 1 161 m, Fahrzeit 3 Minuten und 30 Sekunden. „Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit in diesem Abschnitt in km/h.“ Kurzlösung: 3 min 30 s = 210 s; \(\frac{1\,161}{210}\approx5{,}53\) m/s; mal 3,6 ergibt 19,9 km/h, also rund 20 km/h.

Wenn du steckenbleibst

Schreib zuerst auf, was 100 % ist, und mach aus jedem „um … %“ einen Faktor – damit steht der Ansatz fast immer. Benenne jede Unbekannte mit Einheit, mach aus jedem Satz mit „insgesamt“, „gleich viel“ oder „um … mehr“ eine Gleichung und lass Löse rechnen. Hängst du trotzdem, erklär deinen Ansatz laut und geh zur nächsten Anweisung: Für ein Genügend reichen 6 von 12 Handlungskompetenzen.

Spickzettel Aufgabe 2 und 3: Analysis

Grundlage: alle 62 Kompensationssets im Format 4×3 (KL21–KL26, Stand 12.10.2026). „KK S.“ = PDF-Seite der Angabe, „PP S.“ = PDF-Seite der Lösung, „FS S.“ = Seite der Formelsammlung.

Woran du den Typ erkennst

Analysis kam in allen 62 Sets dran, fast immer in Aufgabe 2, oft auch in Aufgabe 3; in 52 Sets ist ein Integral dabei. Steht ein Zeitraum da („mittlere“ oder „durchschnittliche Änderung“, „im Zeitintervall [0; 15]“), brauchst du den Differenzenquotienten; steht ein Zeitpunkt da („momentane Änderungsrate“, Geschwindigkeit, Steigung der Tangente), die Ableitung \(f'\). „Maximal“, „Hochpunkt“ oder „größte Steigung“ heißt \(f'(x)=0\) bzw. \(f''(x)=0\); „grau markierte Fläche“ oder „insgesamt“ bei einer Rate (L pro h, Pakete pro Tag, m/s) heißt Integral. Profilfiguren mit Polynomfunktion (Becken, Brücke, Rampe) bringen oft ein Gleichungssystem aus Punkt und Hoch-, Tief- oder Wendepunkt.

Die typischen Handlungsanweisungen

1. „Ermitteln Sie die mittlere Änderungsrate …“ (in 19 von 62 Sets)

Beispiel: KL22_KP1_P05, Aufgabe 2 a) 1), KK S. 4, PP S. 8: „Ermitteln Sie die mittlere Änderungsrate der Höhe des Bierschaums für die ersten 60 Sekunden nach dem Einschenken. Geben Sie das Ergebnis mit der dazugehörigen Einheit an.“ Tabelle: 0 s: 4 cm, 20 s: 2,5 cm, 60 s: 2 cm.

Lösungsweg:

1. Intervall [0; 60]: Nur Anfang und Ende zählen, \(h(0)=4\) und \(h(60)=2\).
2. Differenzenquotient (FS S. 11): \(\frac{h(60)-h(0)}{60-0}=\frac{2-4}{60}=-0{,}033\ldots\)
3. Einheit: cm durch s, also cm/s. GeoGebra: (2-4)/(60-0), mit Funktion (f(60)-f(0))/(60-0).

So sagst du es mündlich: „Ich rechne Endwert minus Anfangswert durch die Zeitdauer. Die Höhe des Bierschaums nimmt in den ersten 60 Sekunden durchschnittlich um rund 0,03 cm pro Sekunde ab.“

Typischer Fehler: das Minus oder die Einheit (cm/s, nicht cm) weglassen oder durch die falsche Zeit teilen: Bei [2; 5] ist der Nenner 3, nicht 5.

2. „Interpretieren Sie das Ergebnis … im gegebenen Sachzusammenhang“ (in 13 von 62 Sets)

Beispiel: KL24_KP1_P01, Aufgabe 2 b) 1), KK S. 4, PP S. 7: „Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang.“ \(\frac{300-600}{2020-2010}=-30\) (Tiere einer seltenen Art). Gegenstück mit Strich: KL24_KP2_P01, Aufgabe 3 a) 2), KK S. 5, PP S. 9: \(m'(0)=0{,}5\) (Masse eines Pilzes in g, t in h).

Lösungsweg:

1. Bruch mit zwei Zeitpunkten = mittlere Änderungsrate (Zeitraum); Strich wie bei \(m'(0)\) = momentane Änderungsrate (Zeitpunkt).
2. Einheit: oben pro unten (Tiere pro Jahr, g pro h).
3. Vorzeichen: minus = Abnahme, plus = Zunahme. Nachrechnen: (300-600)/(2020-2010) ergibt −30.

So sagst du es mündlich: „Die Anzahl der Tiere hat von 2010 bis 2020 durchschnittlich um 30 Tiere pro Jahr abgenommen.“ Und: „Zu Beginn der Messung nimmt die Masse des Pilzes momentan um 0,5 g pro Stunde zu.“

Typischer Fehler: „durchschnittlich“ und „momentan“ vertauschen oder „30 Tiere weniger“ sagen: −30 gilt pro Jahr, insgesamt sind es 300 weniger.

3. „Berechnen Sie den Steigungswinkel / die Steigung der Tangente …“ (in 21 von 62 Sets)

Beispiel: KL23_KP2_P01, Aufgabe 2 a) 2), KK S. 4, PP S. 7: „Berechnen Sie den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von h im Punkt P.“ \(h(x)=0{,}00125\cdot x^2-0{,}1\cdot x\), \(P=(120\mid 6)\).

Lösungsweg:

1. Ableiten mit der Potenzregel (FS S. 13): \(h'(x)=0{,}0025\cdot x-0{,}1\).
2. Steigung der Tangente = Ableitung an der Stelle: \(h'(120)=0{,}2\). GeoGebra: h(x)=0.00125x^2-0.1x, dann h'(120).
3. Winkel mit \(k=\tan(\alpha)\) (FS S. 9): \(\alpha=\arctan(0{,}2)=11{,}30\ldots°\). GeoGebra: atan(h'(120))/°.
4. Tangentengleichung: Tangente(120, h) liefert \(y=0{,}2\cdot x-18\).

So sagst du es mündlich: „Die Steigung der Tangente ist die Ableitung an der Stelle 120, also 0,2. Weil tan(α) gleich der Steigung ist, beträgt der Steigungswinkel rund 11,3 Grad.“

Typischer Fehler: \(h(120)\) statt \(h'(120)\) nehmen oder den Rechner auf Radiant lassen (dann steht 0,197 da). Momentane Änderungsrate geht genauso: \(p'(4)\approx-24{,}7\) Euro pro Monat (KL26_KP1_P04, 3 b) 1)).

4. „Ermitteln Sie die maximale …“ (in 23 von 62 Sets)

Beispiel: KL25_KP2_P01, Aufgabe 2 b) 1), KK S. 4, PP S. 7: „Ermitteln Sie die maximale Geschwindigkeit des Autos.“ \(v(t)=-\frac{1}{192}\cdot t^3+\frac{5}{32}\cdot t^2\) mit \(0\le t\le 30\) (t in s, v(t) in m/s).

Lösungsweg:

1. Am Maximum ist die Tangente waagrecht: \(v'(t)=-\frac{1}{64}\cdot t^2+\frac{5}{16}\cdot t=0\).
2. Lösungen: \(t=0\) (Start) und \(t=20\) s.
3. Wert: \(v(20)=20{,}83\ldots\) m/s. Maximum, weil \(v''(20)<0\).
4. GeoGebra: v(t)=-1/192*t^3+5/32*t^2, dann Extremum(v, 0, 30) → A = (20, 20.83): erste Zahl = Stelle, zweite = Wert.

So sagst du es mündlich: „Am Maximum hat der Graph eine waagrechte Tangente, also setze ich \(v'(t)=0\) und erhalte \(t=20\) s. Die maximale Geschwindigkeit ist der Funktionswert \(v(20)\), also rund 20,8 m/s.“

Typischer Fehler: Stelle und Wert verwechseln: 20 s ist der Zeitpunkt, gefragt ist die Geschwindigkeit. Größte Steigung gesucht (KL26_KP1_P02, 3 a) 2))? Dann \(f''(x)=0\), also Wendepunkt(f); Ränder prüfen.

5. „Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten …“ (in 22 von 62 Sets)

Beispiel: KL26_KP1_P04, Aufgabe 3 a) 2), KK S. 6, PP S. 10: „Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a und b.“ \(E(x)=a\cdot x^2+b\cdot x\); der maximale Erlös von 97 300 GE wird bei 340 ME erzielt.

Lösungsweg:

1. Allgemein ableiten: \(E'(x)=2\cdot a\cdot x+b\).
2. Der Punkt liegt auf dem Graphen. I: \(E(340)=97\,300\), also \(a\cdot 340^2+b\cdot 340=97\,300\).
3. Am Maximum ist die Tangente waagrecht. II: \(E'(340)=0\), also \(2\cdot a\cdot 340+b=0\).
4. Nur wenn verlangt lösen: \(a\approx-0{,}842\), \(b\approx 572{,}4\). GeoGebra-CAS: Löse({a*340^2+b*340=97300, 2*a*340+b=0}, {a, b}).

So sagst du es mündlich: „Das Erlösmaximum gibt zwei Bedingungen: Bei 340 ME beträgt der Erlös 97 300 GE, und dort ist die Tangente waagrecht, der Grenzerlös also 0 GE pro ME. Das sind die Gleichungen I und II.“

Typischer Fehler: nur die Punktgleichung aufschreiben und \(E'(340)=0\) vergessen. Bei einem Wendepunkt gilt \(f''(x)=0\), bei vorgegebener Steigung \(f'(x)=k\).

6. „Berechnen Sie den Flächeninhalt der … grau markierten Fläche“ (in 40 von 62 Sets, der häufigste Auftrag)

Beispiel: KL24_KP2_P01, Aufgabe 2 a) 2), KK S. 4, PP S. 7: „Berechnen Sie den Flächeninhalt der in der obigen Abbildung grau markierten Fläche.“ Grundfläche eines Kinderbeckens, symmetrisch zur x-Achse, oben begrenzt durch \(f(x)=\frac{10}{189}\cdot x^3-\frac{55}{63}\cdot x^2+\frac{80}{21}\cdot x\), rechts durch \(x=10\).

Lösungsweg:

1. Grenzen aus der Abbildung: von 0 bis 10.
2. Symmetrie: obere Hälfte mal 2; f liegt über der x-Achse, also Integral = Fläche (FS S. 13).
3. \(A=2\cdot\int_0^{10} f(x)\,dx=63{,}49\ldots\approx 63{,}5\) m². GeoGebra: 2*Integral(f, 0, 10).
4. Nur Formel verlangt? Bei zwei Graphen oben minus unten, z. B. KL24_KP1_P02, 3 a) 1): \(A=\int_{x_1}^{x_2}(g(x)-f(x))\,dx\), in GeoGebra IntegralZwischen(g, f, a, b).

So sagst du es mündlich: „Die Fläche ist symmetrisch zur x-Achse, also berechne ich die Fläche unter f von 0 bis 10 und verdopple sie. Die Grundfläche des Beckens beträgt rund 63,5 m².“

Typischer Fehler: Teile unter der x-Achse geben ein negatives Integral: getrennt rechnen, Beträge addieren. Oft vergessen: der Faktor 2 bei Symmetrie und Rechtecke oder Dreiecke, die dazu- oder wegkommen.

7. Integral als Gesamtmenge: „Interpretieren Sie …“ oder „Berechnen Sie die gesamte …“ (in 19 von 62 Sets)

Beispiel: KL24_KP3_P01, Aufgabe 3 b) 1), KK S. 6, PP S. 10: „Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang.“ \(\int_0^{365} p(t)\,dt=475\,000\); p(t) = Anzahl der pro Tag abgefertigten Pakete, t in Tagen ab Beginn 2022.

Lösungsweg:

1. p ist eine Rate (pro Tag); ihr Integral ist die Gesamtmenge im Zeitraum.
2. Einheit: Pakete pro Tag mal Tage = Pakete.
3. Grenzen übersetzen: 0 bis 365 = das ganze Jahr 2022.
4. Ausrechnen: Integral(p, 0, 365). Genauso Weg aus Geschwindigkeit: \(\ell=\int_0^{30} v(t)\,dt\) (KL25_KP2_P01, 2 a) 1)).

So sagst du es mündlich: „p gibt Pakete pro Tag an, das Integral summiert das über 365 Tage. Im Jahr 2022 wurden in diesem Verteilzentrum insgesamt 475 000 Pakete abgefertigt.“

Typischer Fehler: das Integral mit einem Funktionswert verwechseln: \(p(365)\) wären die Pakete pro Tag am Jahresende. Die Einheit ist Pakete, nicht Pakete pro Tag.

8. „Tragen Sie die fehlenden Zeichen … ein“: f′, f″ und der Graph der Ableitung (in 17 von 62 Sets)

Beispiel: KL23_KP2_P03, Aufgabe 2 a) 3), KK S. 4, PP S. 7: „Tragen Sie die fehlenden Zeichen („<“, „>“ oder „=“) in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.“ h′(4) ☐ 0 und h″(4) ☐ 0; der Graph von h hat an der Stelle 4 eine horizontale Tangente und ist dort rechtsgekrümmt.

Lösungsweg:

1. Horizontale Tangente heißt Steigung null: \(h'(4)=0\).
2. Rechtsgekrümmt (Form ∩) heißt \(h''(4)<0\); linksgekrümmt (Form ∪) hieße \(h''>0\).
3. Graph von f′ skizzieren (KL26_KP1_P04, 2 b) 1)): f steigt → f′ über der x-Achse, f fällt → f′ darunter; Extremstelle von f → Nullstelle von f′; Wendestelle von f → Extremstelle von f′.
4. GeoGebra-Kontrolle: f'(x) und f''(x) zeichnen lassen.

So sagst du es mündlich: „Eine horizontale Tangente bedeutet Steigung null, also h′(4) = 0. Rechtsgekrümmt heißt, die Steigung nimmt ab, also h″(4) < 0. An der Stelle 4 liegt ein Hochpunkt.“

Typischer Fehler: f′ und f″ vertauschen: f′ zeigt Steigen und Fallen, f″ die Krümmung. Eselsbrücke: ∪ lächelt = positiv, ∩ schaut traurig = negativ.

Formeln, die du brauchst

GeoGebra in 5 Schritten

Englische Oberfläche: Namen in Klammern nehmen.

1. Funktion eingeben: h(x)=0.00125x^2-0.1x. Dezimalpunkt statt Komma, ^ für Hochzahlen, * für mal, e-Funktion als exp(-0.13*t).
2. Ableiten: h'(x) zeigt die Ableitung (wie Ableitung(h), engl. Derivative), h'(120) die Steigung bei 120, h''(x) die zweite Ableitung. Winkel in Grad: atan(h'(120))/°. Tangente: Tangente(120, h) (engl. Tangent).
3. Hoch-, Tief-, Wendepunkt: Extremum(v, 0, 30) liefert den Punkt (Stelle | Wert), Wendepunkt(f) (engl. InflectionPoint). Gleichung lösen: Löse(v'(t)=0) (engl. Solve). Größte Steigung: g(x)=f'(x), dann Extremum(g, a, b).
4. Integrale: Integral(f, 0, 10) gibt die Zahl und schraffiert die Fläche. Zwischen zwei Graphen: IntegralZwischen(f, g, a, b) (engl. IntegralBetween). Grenzen: Nullstelle(f) (engl. Root) oder Schnittpunkt(f, g) (engl. Intersect).
5. Aufschreiben: zuerst den Ansatz von Hand, z. B. \(v'(t)=0\) oder \(2\cdot\int_0^{10} f(x)\,dx\), dann das GeoGebra-Ergebnis runden, Einheit dazu, Antwortsatz. Eine Zahl ohne Ansatz ist kein vollständiger Nachweis.

Mini-Training (10 Minuten)

Je 3 Minuten, Antwortsatz laut sagen, erst dann die Kurzlösung lesen.

1. KL21_KP1_P03, Aufgabe 2 a) 2), KK S. 4, PP S. 7: „Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit dieses Fahrzeugs im Zeitintervall [0; 15].“ Gegeben: \(s(t)=-0{,}0001\cdot t^3-0{,}04\cdot t^2+1{,}8\cdot t\) (t in s, s(t) = Weg in m).

   Kurzlösung: \(\frac{s(15)-s(0)}{15-0}=\frac{17{,}6625}{15}=1{,}1775\) m/s. GeoGebra: s(t)=-0.0001*t^3-0.04*t^2+1.8*t, dann (s(15)-s(0))/(15-0).

2. KL26_KP1_P03, Aufgabe 2 a) 2), KK S. 4, PP S. 7: „Ermitteln Sie die Koordinaten des Hochpunkts H von f.“ Gegeben: \(f(x)=-\frac{1}{4}\cdot x^2+\frac{1}{2}\cdot x+10\) mit \(0\le x\le 10\).

   Kurzlösung: \(f'(x)=-\frac{1}{2}\cdot x+\frac{1}{2}=0\), also \(x=1\); \(f(1)=10{,}25\); \(H=(1\mid 10{,}25)\). Hochpunkt, weil \(f''(x)=-\frac{1}{2}<0\). GeoGebra: f(x)=-1/4*x^2+1/2*x+10, dann Extremum(f, 0, 10).

3. KL23_KP3_P01, Aufgabe 3 b) 1), KK S. 5, PP S. 10: „Berechnen Sie die gesamte Niederschlagsmenge pro Quadratmeter, die in diesen 2,5 Stunden gefallen ist. Geben Sie das Ergebnis mit der zugehörigen Einheit an.“ Gegeben: \(N(t)=-\frac{44}{3}\cdot t^3+44\cdot t^2-\frac{103}{3}\cdot t+40\) mit \(0\le t\le 2{,}5\) (t in h, N(t) = Niederschlag pro m² in L/h).

   Kurzlösung: \(\int_0^{2{,}5} N(t)\,dt=78{,}645\ldots\approx 78{,}6\) L pro m², denn L pro h mal h = L. GeoGebra: N(t)=-44/3*t^3+44*t^2-103/3*t+40, dann Integral(N, 0, 2.5).

Wenn du steckenbleibst

Frag dich zuerst, ob es um einen Zeitraum (Differenzenquotient), einen Zeitpunkt (Ableitung), ein Maximum (\(f'(x)=0\)) oder eine Gesamtmenge bzw. Fläche (Integral) geht, und schreib genau diesen Ansatz mit Einheit hin. Lass GeoGebra rechnen und erkläre laut, was jede Zahl bedeutet: Stelle oder Wert, pro Zeiteinheit oder insgesamt. Hängst du trotzdem fest, geh zur nächsten Handlungsanweisung weiter, denn die Teilaufgaben sind unabhängig voneinander, und für ein Genügend reichen 6 von 12.

Spickzettel Aufgabe 2 und 3: Funktionale Zusammenhänge

Kompensationsprüfung Angewandte Mathematik (BHS), nur Teil A. Aufgabe 2 und 3 bringen 6 von 12 Punkten, das ist schon ein Genügend. Häufigkeiten aus allen 62 Sets im 4×3-Format (2021 bis 2026).

Woran du den Typ erkennst

Aufgabe 2 und 3 sind fast immer Funktionsaufgaben: Eine Größe ändert sich mit der Zeit oder mit der Stückzahl, gegeben als Text, Tabelle, Formel oder Graph. Kommt pro Schritt gleich viel dazu oder weg (Kosten pro Stück, Tarife, Füllhöhe, „pro Jahr um den gleichen Wert“), ist das Modell linear: \(f(x)=k\cdot x+d\). Ändert sich der Wert pro Schritt um den gleichen Prozentsatz (Wachstum, Zerfall, Halbwertszeit, Verdopplung, Abkühlung), ist es exponentiell: \(N(t)=N_0\cdot a^t\). Bei Bögen, Profilen, Flugbahnen oder Kostenkurven mit Hoch- oder Tiefpunkt brauchst du eine Polynomfunktion, und ist ein Graph abgebildet, sollst du meistens ablesen oder einzeichnen.

Die typischen Handlungsanweisungen

Wenig Zeit? Lern zuerst 1, 8, 5 und 2.

1. Lineare Funktion aufstellen (fast 6 von 10 Sets)

Original: KL22_KP1_P01, Aufgabe 3 b) 1): „Stellen Sie eine Gleichung der zugehörigen linearen Funktion auf. Wählen Sie t = 0 für den Jahresbeginn 2010.“ (Bevölkerung Österreichs: 2010 8,35 Mio., 2020 8,9 Mio.)

1. Jahre in \(t\) umrechnen: \((0 \mid 8{,}35)\) und \((10 \mid 8{,}9)\).
2. Steigung: \(k=\frac{8{,}9-8{,}35}{10-0}=0{,}055\).
3. \(d\) ist der Wert bei \(t=0\), also \(f(t)=0{,}055\cdot t+8{,}35\). Liegt kein Punkt bei \(t=0\): \(d=y_1-k\cdot x_1\).
4. GeoGebra: Trendlinie({(0, 8.35), (10, 8.9)}) → y = 0.055x + 8.35.

So sagst du es mündlich: „Laut Modell wächst die Bevölkerung jedes Jahr um 0,055 Millionen, also um 55 000 Menschen. 8,35 Millionen ist die Bevölkerung zu Jahresbeginn 2010.“

Typischer Fehler: 2010 statt \(t=0\) einsetzen; einen Wert als \(d\) nehmen, der nicht bei \(t=0\) liegt; \(k\) ohne Einheit nennen; „pro Tag“ nicht in „pro Jahr“ umrechnen (KL24_KP2_P03: \(6\cdot 365=2\,190\) ha pro Jahr).

2. Exponentialfunktion aufstellen (3 von 10 Sets)

Original: KL26_KP1_P02, Aufgabe 2 a) 2): „Stellen Sie mithilfe der Werte für die Jahre 2020 und 2021 eine Gleichung von f auf.“ (\(t=0\) für 2020; Energiebedarf 2020: 9 253 PJ, 2021: 11 004 PJ)

1. Ansatz \(f(t)=N_0\cdot a^t\) mit \(N_0=9\,253\).
2. Faktor = Quotient: \(a=\frac{11\,004}{9\,253}=1{,}189\ldots\); bei 10 Jahren Abstand die 10. Wurzel: \(a=\sqrt[10]{300/600}=0{,}933\) (KL24_KP1_P01).
3. \(f(t)=9\,253\cdot 1{,}189^t\) oder mit \(\lambda=\ln(1{,}189\ldots)=0{,}173\): \(f(t)=9\,253\cdot e^{0{,}173\cdot t}\).
4. GeoGebra: TrendExp2({(0, 9253), (1, 11004)}) → 9253 * 1.1892^x; TrendExp(…) gibt 9253 e^(0.1733x).
5. Prozentsatz im Text: „stündlich um 2 % zu“ → \(a=1{,}02\); „verdoppelt sich alle 4 Jahre“ → \(a=\sqrt[4]{2}=1{,}189\) (KL25_KP1_P01).

So sagst du es mündlich: „9 253 Petajoule ist der Energiebedarf 2020, also bei \(t=0\). Der Faktor 1,189 heißt: Der Bedarf steigt laut Modell jedes Jahr um 18,9 % gegenüber dem Vorjahr.“

Typischer Fehler: +3 % ist \(a=1{,}03\), nicht \(0{,}03\); −3 % ist \(a=0{,}97\). Zeiteinheit beachten: 30 min sind \(t=0{,}5\) h, also \(a^{0{,}5}=\frac{89}{56}\) (KL24_KP2_P02).

3. Zahl oder Parameter interpretieren (2 von 10 Sets)

Original: KL25_KP1_P01, Aufgabe 3 b) 2): „Interpretieren Sie die Zahl 1,2 in der obigen Gleichung im gegebenen Sachzusammenhang.“ (\(K_2(t)=1{,}25\cdot 1{,}2^t\), Speicherkapazität in ZB, \(t\) in Jahren ab 2016)

1. Rolle klären: vorne steht der Anfangswert, in der Basis der Faktor pro Zeiteinheit; linear: \(k\) ist die Änderung pro Einheit, \(d\) der Startwert.
2. Faktor in Prozent: \(1{,}2-1=0{,}2\), also +20 %. Bei Abnahme \(1-a\): \(0{,}933\) heißt −6,7 % pro Jahr.
3. e-Form: zuerst den Faktor \(e^{\lambda}\) bilden. GeoGebra: exp(0.137) - 1 → 0.1468, also +14,7 % pro Jahr (KL22_KP2_P03).

So sagst du es mündlich: „Die Speicherkapazität wächst laut Modell jedes Jahr um 20 %, jeweils im Vergleich zum Vorjahr. Die 1,25 vorne ist der Startwert zu Beginn 2016 in Zettabyte.“

Typischer Fehler: „1,2 heißt plus 1,2 %“ oder „plus 120 %“; \(\lambda=0{,}137\) direkt als 13,7 % lesen; die Zeiteinheit weglassen.

4. Verdopplungszeit oder Halbwertszeit berechnen (direkt 1, als Thema 3 von 10 Sets)

Original: KL24_KP2_P01, Aufgabe 3 a) 1): „Berechnen Sie die Verdoppelungszeit der Masse dieses Pilzes.“ (Die Masse nimmt stündlich um 2 % zu.)

1. Faktor: \(a=1{,}02\).
2. Ansatz: \(1{,}02^t=2\) (Halbwertszeit: \(a^t=0{,}5\)). Der Anfangswert kürzt sich weg.
3. Lösen: \(t=\frac{\ln 2}{\ln 1{,}02}=35{,}0\), also rund 35 Stunden.
4. GeoGebra: NLöse(1.02^x = 2) → {x = 35.0028}.
5. Halbwertszeit gegeben (30 min): \(a=0{,}5^{1/30}=0{,}977\) (KL23_KP1_P03).

So sagst du es mündlich: „Verdopplungszeit heißt: Nach dieser Zeit ist doppelt so viel da, egal wie viel am Anfang war. Darum setze ich \(1{,}02^t=2\). Die Masse verdoppelt sich etwa alle 35 Stunden.“

Typischer Fehler: \(0{,}02^t=2\) ansetzen; linear rechnen (\(100\,\%:2\,\%=50\) Stunden ist falsch).

5. Zeitpunkt berechnen, zu dem ein Wert erreicht wird (4 bis 5 von 10 Sets)

Original: KL24_KP2_P03, Aufgabe 3 b) 1): „Berechnen Sie, nach wie vielen Jahren nach der Auspflanzung diese Nordmanntanne eine Höhe von 2 m erreicht.“ (\(h(t)=30\cdot 1{,}21^t\), \(h\) in cm)

1. Einheit angleichen: 2 m = 200 cm.
2. Gleichung: \(30\cdot 1{,}21^t=200\).
3. Lösen: \(t=\frac{\ln(200/30)}{\ln 1{,}21}=9{,}95\), also nach rund 10 Jahren.
4. GeoGebra: NLöse(30*1.21^x = 200) → {x = 9.9523}, oder zeichnen und Schnittpunkt(f, g) mit g(x) = 200.
5. Probe: \(h(10)=201{,}8\) cm, passt.

Varianten: „um ein Viertel zugenommen“ → \(1{,}25\cdot N(0)\) (KL22_KP1_P01); „noch 75 %“ → \(0{,}75\cdot D_0\) (KL24_KP2_P02).

So sagst du es mündlich: „Ich setze die Höhe gleich 200, weil h in Zentimetern angegeben ist. Die Lösung \(t\approx 9{,}95\) bedeutet: Rund 10 Jahre nach dem Auspflanzen ist die Tanne 2 m hoch.“

Typischer Fehler: 2 statt 200 einsetzen ergibt \(t\approx -14{,}2\), und eine negative Zeit ist ein Warnsignal. Bei quadratischen Gleichungen die negative Lösung begründet streichen.

6. Graph ablesen, einzeichnen oder Kästchen ausfüllen (5 von 10 Sets)

Original: KL23_KP1_P03, Aufgabe 3 a) 1): „Zeichnen Sie in die obige Abbildung den Graphen für den exponentiellen Zerfall der Substanz B ein.“ (Gleiche Anfangsmenge wie A, Halbwertszeit halb so groß.)

1. Ablesen: A fällt in 4 min von 4 mg auf 2 mg, also Halbwertszeit 4 min.
2. B halbiert sich alle 2 min: Punkte \((0 \mid 4)\), \((2 \mid 2)\), \((4 \mid 1)\), \((6 \mid 0{,}5)\).
3. Punkte eintragen und mit einer Kurve verbinden, die immer flacher wird und über 0 bleibt.
4. GeoGebra zur Kontrolle: B(x) = 4*0.5^(x/2).

Nur ablesen: KL26_KP1_P04, Aufgabe 3 a) 1): „Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung die Steigung der Funktion K. Geben Sie dabei die zugehörige Einheit an.“ Gitterpunkte ablesen: \(k=\frac{100\,000-40\,000}{400-0}=150\) GE/ME. Kästchen bei \(T(t)=100-76\cdot e^{-0{,}025\cdot t}\): Startwert \(T(0)=24\), Grenze \(100\) (KL23_KP1_P02).

So sagst du es mündlich: „A halbiert sich alle 4 Minuten, B doppelt so schnell, also alle 2 Minuten. Darum geht mein Graph durch (2|2) und (4|1) und liegt unter dem Graphen von A.“

Typischer Fehler: eine Gerade statt einer Kurve zeichnen; zwischen Gitterlinien schätzen statt Gitterkreuzungen nehmen.

7. Zeigen/Begründen: nicht linear, nicht exponentiell, Behauptung falsch (2 von 10 Sets)

Original: KL24_KP1_P01, Aufgabe 3 a) 1): „Zeigen Sie rechnerisch, dass die drei in der obigen Tabelle angegebenen Wertepaare nicht Punkte auf einer Geraden sind.“ (Tag 0, 60, 100; Temperatur 8, 13, 17 °C)

1. Zwei Steigungen berechnen: \(\frac{13-8}{60-0}=0{,}083\) und \(\frac{17-13}{100-60}=0{,}1\).
2. Vergleichen: verschieden, also keine Gerade.
3. Nicht exponentiell? Faktoren aus je zwei Messwerten vergleichen: \(0{,}977\neq 0{,}989\) (KL22_KP1_P05). Behauptung falsch? Gegenbeispiel vorrechnen: Verdoppelt werden 60 und 55 cm³ zu 120 und 110 cm³, Unterschied 10 statt 5 cm³ (KL24_KP2_P02).
4. GeoGebra: (13-8)/60 und (17-13)/40 in die Eingabezeile.

So sagst du es mündlich: „Bei einer Geraden ist die Steigung überall gleich. Hier sind es zuerst 0,083 °C pro Tag, dann 0,1 °C pro Tag, also liegen die Punkte nicht auf einer Geraden.“

Typischer Fehler: nur die Zuwächse 5 und 4 vergleichen, obwohl die Abstände verschieden sind (60 und 40 Tage). Immer durch \(\Delta x\) teilen!

8. Gleichungssystem für eine Polynomfunktion aufstellen (gut 5 von 10 Sets)

Original: KL23_KP1_P01, Aufgabe 2 a) 1): „Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten von K.“ (\(K(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c\); Fixkosten 22 GE; bei 20 ME Kosten 40 GE und lokale Änderungsrate 1,5 GE/ME)

1. Ableitung bilden: \(K'(x)=2a\cdot x+b\).
2. Text übersetzen: Fixkosten → \(K(0)=22\); Punkt → \(K(20)=40\); lokale Änderungsrate → \(K'(20)=1{,}5\).
3. Ausschreiben: I: \(c=22\); II: \(400a+20b+c=40\); III: \(40a+b=1{,}5\).
4. GeoGebra (CAS) zur Kontrolle: Löse({c = 22, 400a + 20b + c = 40, 40a + b = 1.5}, {a, b, c}) → \(a=\frac{3}{100}\), \(b=\frac{3}{10}\), \(c=22\).

Merke: „durch \((u \mid v)\)“ → \(f(u)=v\); „Hoch-/Tiefpunkt, maximal, am geringsten“ → \(f'(u)=0\); „Steigung, Änderungsrate“ → \(f'(u)=\) gegebener Wert; „Wendepunkt“ → \(f''(u)=0\).

So sagst du es mündlich: „Drei Unbekannte brauchen drei Gleichungen. Fixkosten sind die Kosten bei 0 Stück, also \(K(0)=22\); die lokale Änderungsrate ist die Ableitung, also \(K'(20)=1{,}5\).“

Typischer Fehler: Ein Hochpunkt gibt zwei Gleichungen (\(f(u)=v\) und \(f'(u)=0\)), nicht eine; \(K'(20)\) mit \(K(20)\) verwechseln.

Formeln, die du brauchst

Seiten laut offizieller Formelsammlung, Stand 1. Dezember 2022.

GeoGebra in 5 Schritten

1. Einstellen: Menü Einstellungen → Runden → 4 Dezimalstellen. Mit dem Standard (2 Stellen) zeigt GeoGebra 0.06x statt 0.055x! Zahlen mit Dezimalpunkt (8.35), das Komma trennt Argumente, die Variable heißt x.
2. Funktion aus zwei Punkten: A = (0, 9253) und B = (1, 11004) eingeben, dann Trendlinie({A, B}) für eine Gerade, TrendExp2({A, B}) für \(a\cdot b^x\) oder TrendExp({A, B}) für \(a\cdot e^{\lambda x}\). Gerade(A, B) zeigt dagegen -1751x + y = 9253.
3. Gleichung lösen: Eingabezeile NLöse(30*1.21^x = 200) → {x = 9.9523}. Gleichungssysteme in der CAS-Ansicht mit Löse({…}, {a, b, c}). Gibt Löse einen langen ln-Bruch aus, nimm NLöse oder drück ≈.
4. Graph zeichnen: f(x) = 30*1.21^x eingeben und den Ausschnitt mit Mausrad und Ziehen anpassen.
5. Ablesen: g(x) = 200, dann Schnittpunkt(f, g) → (9.9523, 200); Funktionswerte mit f(5). Englische Befehle: FitLine, FitGrowth, FitExp, NSolve, Solve, Intersect.

Mini-Training (10 Minuten)

Erst selbst lösen. PDFs im Ordner Alte-Mathe-Kompensationspruefungen: Angabe …_KK.pdf, Lösung …_PP.pdf.

A) KL26_KP1_P01, Aufgabe 2 b) 1) – Angabe PDF-Seite 4, Lösung PDF-Seite 7. Von 0 bis 12 Uhr ist die momentane Änderungsrate der Temperatur konstant; um 2 Uhr hat es 20 °C, um 12 Uhr 24 °C. Auftrag: „Ermitteln Sie die Temperatur um 5 Uhr.“

Kurzlösung: Konstante Änderungsrate heißt linear: \(k=\frac{24-20}{12-2}=0{,}4\) °C pro Stunde, \(d=20-2\cdot 0{,}4=19{,}2\), also \(g(t)=0{,}4\cdot t+19{,}2\) und \(g(5)=21{,}2\) °C.

B) KL25_KP2_P01, Aufgabe 3 a) 2) – Angabe PDF-Seite 5, Lösung PDF-Seite 9. Übernachtungen pro Jahr: 2019 → 1 750, 2020 → 2 100, \(t=0\) für 2019. Auftrag: „Stellen Sie mithilfe der Werte für die Jahre 2019 und 2020 eine Gleichung der Exponentialfunktion f auf.“

Kurzlösung: \(a=\frac{2\,100}{1\,750}=1{,}2\), also \(f(t)=1\,750\cdot 1{,}2^t\) oder \(f(t)=1\,750\cdot e^{0{,}182\cdot t}\); das heißt +20 % pro Jahr.

C) KL25_KP1_P01, Aufgabe 2 b) 1) – Angabe PDF-Seite 4, Lösung PDF-Seite 7. \(h_2(t)=-5\cdot t^2+b\cdot t+c\) (Höhe eines Steins in m, \(t\) in s). „Nach 0,4 s hat der Stein seine maximale Höhe von 3,8 m über der Wasseroberfläche erreicht.“ Auftrag: „Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten b und c.“

Kurzlösung: \(h_2'(t)=-10\cdot t+b\). I: \(-5\cdot 0{,}4^2+0{,}4\cdot b+c=3{,}8\); II: \(-10\cdot 0{,}4+b=0\). Zur Kontrolle: \(b=4\), \(c=3\).

Wenn du steckenbleibst

Sag laut, was du sicher weißt: welche Größe von welcher abhängt, wo \(t=0\) liegt und ob pro Schritt gleich viel (linear) oder gleich viel Prozent (exponentiell) dazukommt. Schreib dann den Ansatz hin, zum Beispiel \(30\cdot 1{,}21^t=200\) oder \(K'(20)=1{,}5\), erklär ihn in einem Satz und lass GeoGebra rechnen. Wenn es gar nicht weitergeht, sag das kurz und mach mit der nächsten Handlungsanweisung weiter, denn jede bringt einen eigenen Punkt.

Spickzettel Aufgabe 4 – Stochastik

Woran du den Typ erkennst

Stochastik kommt in allen 62 ausgewerteten 4×3-Sets (2021–2026) vor, in 61 davon als Aufgabe 4 (einzige Ausnahme: KL21_KP1_P05, dort Aufgabe 1). Du erkennst sie an Wörtern wie „zufällig ausgewählt“, „Wahrscheinlichkeit“, „genau / höchstens / mindestens“, „Baumdiagramm“, „Boxplot“ oder „normalverteilt“. Meist geht es um Zufallsexperimente mit Baum, Pfadregeln oder Gegenereignis (49 von 62 Sets) und um die Binomialverteilung (43 von 62), oft ergänzt durch Normalverteilung oder Daten (Boxplot, Mittelwert, Kreisdiagramm). Gute Nachricht: 137 von 183 Handlungsanweisungen gehen ohne Technologie – GeoGebra brauchst du fast nur für Binomial- und Normalverteilung.

Die typischen Handlungsanweisungen

Schreib jede Lösung wie die offizielle Musterlösung: „X … Anzahl der …“ → Verteilung mit Parametern → Eingabe/Rechnung → Antwortsatz mit Prozent.

1. Binomial: „Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens / höchstens / genau k …“ (21 von 62 Sets)

Beispiel (KL24_KP1_P02, Aufgabe 4 b1, KK S. 7): „Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 4 der 20 anwesenden Gäste ein Gratisessen gewinnen.“ (Gewinn je Drehung 25 %, unabhängig)

Lösungsweg:

1. \(X\) … Anzahl der Gäste mit Gratisessen, binomialverteilt mit \(n=20\), \(p=0{,}25\).
2. Übersetzen: mindestens 4 → \(P(X\ge 4)=1-P(X\le 3)\).
3. GeoGebra: Wahrscheinlichkeitsrechner → Binomial, n = 20, p = 0.25, rechtsseitig \(P(4\le X)\) – oder 1-BinomialDist(20,0.25,3,true).
4. Ergebnis: \(0{,}7748\ldots\approx 77{,}5\,\%\).

Merke: genau k → BinomialDist(n,p,k,false), höchstens k → BinomialDist(n,p,k,true), mindestens k → 1-BinomialDist(n,p,k-1,true).

So sagst du es mündlich: „X ist die Anzahl der Gäste, die gewinnen. Die Binomialverteilung passt, weil es 20 unabhängige Drehungen mit immer derselben Gewinnwahrscheinlichkeit 0,25 und nur Gewinn oder Nicht-Gewinn gibt. Mindestens 4 ist das Gegenereignis von höchstens 3 – das ergibt rund 77,5 %.“

Typischer Fehler: 1-BinomialDist(20,0.25,4,true) – dann fehlt X = 4 (falsche 58,5 %). Das „1 −“ vergessen ergibt „höchstens 3“ (22,5 %). Auch beliebt: 25 statt 0.25 oder Komma statt Punkt eintippen.

2. „Beschreiben Sie ein Ereignis E …, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem nachstehenden Ausdruck berechnet wird“ (32 von 62 Sets – Spitzenreiter!)

Beispiel (KL21_KP1_P02, Aufgabe 4 c1, KK S. 7): 8 % der Fans kommen aus Italien. „Beschreiben Sie ein Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem nachstehenden Ausdruck berechnet werden kann. \(P(E)=1-0{,}92^5\)“

Lösungsweg:

1. \(0{,}92\) = ein Fan kommt nicht aus Italien; hoch 5 = alle 5 Fans nicht.
2. „\(1-\)“ = Gegenereignis von „keiner“.
3. Antwort: „Von 5 zufällig ausgewählten Formel-1-Fans kommt mindestens 1 aus Italien.“
4. Kontrolle (optional): 1-0.92^5 und 1-BinomialDist(5,0.08,0,true) liefern beide 0,3409.

So sagst du es mündlich: „0,92 ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fan nicht aus Italien kommt, 0,92 hoch 5, dass keiner der 5 Fans aus Italien kommt. Eins minus das ist das Gegenereignis: mindestens einer der 5 Fans kommt aus Italien.“

Typischer Fehler: Stichprobe und Kontext weglassen („mindestens 1“ allein reicht nicht) oder Grenzen verschieben: \(1-\sum_{k=0}^{60}\) heißt „mehr als 60“, nicht „mindestens 60“ (KL24_KP2_P02).

3. „Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der … Wahrscheinlichkeit auf“ (28 von 62 Sets)

Beispiel (KL25_KP2_P02, Aufgabe 4 c1, KK S. 7): Züchter A hat a Hunde, Züchter B hat b Hunde; 2 Hunde, ohne Zurücklegen. „Stellen Sie mithilfe von a und b eine Formel zur Berechnung der nachstehenden Wahrscheinlichkeit auf. P(„beide Hunde sind vom Hundezüchter A“) =“

Lösungsweg:

1. Mini-Baum skizzieren. Erster Hund von A: \(\frac{a}{a+b}\).
2. Ohne Zurücklegen, zweiter Hund von A: \(\frac{a-1}{a+b-1}\).
3. Pfad multiplizieren: \(P=\frac{a}{a+b}\cdot\frac{a-1}{a+b-1}\).
4. Zahlenprobe in GeoGebra, z. B. a = 3, b = 2: 3/5*2/4 → 0,3.

Weitere echte Muster: kein einziger von 3 unabhängigen Fehlern \((1-p_1)(1-p_2)(1-p_3)\) (KL22_KP1_P02); erst A, falls nicht, dann B \(p_A+(1-p_A)\cdot p_B\) (KL26_KP1_P01); genau 5 von n \(\binom{n}{5}\cdot0{,}06^5\cdot0{,}94^{n-5}\) (KL23_KP1_P01).

So sagst du es mündlich: „Beim ersten Hund sind a von a + b Hunden von Züchter A. Weil nicht zurückgelegt wird, sind beim zweiten nur noch a − 1 von a + b − 1 übrig. Beides muss eintreten, also multipliziere ich entlang des Pfades.“

Typischer Fehler: \(\left(\frac{a}{a+b}\right)^2\) – das wäre mit Zurücklegen.

4. „Vervollständigen Sie das Baumdiagramm“ + Pfadregeln (29 von 62 Sets)

Beispiel (KL26_KP1_P02, Aufgabe 4 a1, KK S. 6): Von 100 Befragten fliegen 29 nie, 2 Personen werden zufällig ausgewählt. „Tragen Sie die fehlenden Wahrscheinlichkeiten in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.“

Lösungsweg:

1. Erste Stufe: fliegt \(\frac{71}{100}\), fliegt nie \(\frac{29}{100}\).
2. Zweite Stufe, Nenner 99: nach „fliegt“ → fliegt \(\frac{70}{99}\), fliegt nie \(\frac{29}{99}\); nach „fliegt nie“ → fliegt \(\frac{71}{99}\), fliegt nie \(\frac{28}{99}\).
3. Kontrolle: Äste jeder Verzweigung ergeben 1.
4. Folgt eine Rechnung: entlang des Pfades multiplizieren, passende Pfade addieren. Beispiel KL23_KP2_P02 a1 („nur Klasse A“, 12 von 30): 12/30*11/29*10/28 ≈ 0,054 = 5,4 %.

So sagst du es mündlich: „Beim ersten Zug fliegen 71 von 100 Personen. Dieselbe Person wird nicht zweimal gewählt, also sind beim zweiten Zug nur 99 übrig – nach einem Flieger also noch 70 Flieger. An jeder Verzweigung ergibt die Summe 1.“

Typischer Fehler: Nenner 100 in der 2. Stufe (wäre mit Zurücklegen) – und ohne Zurücklegen keine Binomialverteilung nehmen, weil sich p bei jedem Zug ändert. Bei „55 % der Fans aus Österreich …“ (KL21_KP1_P02) gilt die Zahl nur für diesen Ast, nicht für alle.

5. Erwartungswert: „Berechnen Sie den Erwartungswert“ / „Interpretieren Sie … 5 · 0,8 = 4“ (6 von 62 Sets)

Beispiel (KL25_KP1_P03, Aufgabe 4 a1, KK S. 6): 4 % der Adressen sind fehlerhaft, 3 000 werden zufällig ausgewählt. „Berechnen Sie den Erwartungswert E(X).“

Lösungsweg:

1. Binomial: \(n=3000\), \(p=0{,}04\).
2. \(E(X)=n\cdot p=3000\cdot0{,}04=120\) (GeoGebra: 3000*0.04).
3. Deuten: im Mittel 120 fehlerhafte Adressen.
4. Rückwärts: \(20\cdot p_D=4\Rightarrow p_D=0{,}2\) (KL26_KP1_P01 b2).

So sagst du es mündlich: „Der Erwartungswert ist n mal p, also 120. Wählt man sehr oft 3 000 Adressen aus, sind im Durchschnitt 120 fehlerhaft.“ Zu „5 · 0,8 = 4“ (KL24_KP2_P01 b1): „Der Erwartungswert für die Anzahl richtig beantworteter Fragen unter den 5 Geschichte-Fragen beträgt 4.“

Typischer Fehler: „Es sind genau 120“ – richtig ist „im Mittel / erwartet“.

6. Normalverteilung: „Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass … mindestens 800 mm …“ (23 von 62 Sets)

Beispiel (KL23_KP1_P03, Aufgabe 4 a2, KK S. 6): \(\mu=650\) mm, \(\sigma=100\) mm. „Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die jährliche Niederschlagsmenge an diesem Ort in einem zufällig ausgewählten Jahr mindestens 800 mm beträgt.“

Lösungsweg:

1. \(X\) … jährliche Niederschlagsmenge in mm, normalverteilt.
2. Mindestens 800 = Fläche rechts von 800: \(P(X\ge800)=1-P(X\le800)\).
3. GeoGebra: Wahrscheinlichkeitsrechner → Normal, μ = 650, σ = 100, rechtsseitig \(P(800\le X)\) – oder 1-Normal(650,100,800,true).
4. Ergebnis: \(0{,}0668\ldots\approx6{,}7\,\%\).
5. Graph-Fragen (a1 derselben Aufgabe): Hochpunkt bei \(\mu=650\), Wendestellen bei \(\mu\pm\sigma\) = 550 und 750; kleineres σ → schmäler und höher.

So sagst du es mündlich: „X ist normalverteilt mit Erwartungswert 650 mm und Standardabweichung 100 mm. Mindestens 800 ist die Fläche unter der Glockenkurve rechts von 800, also 1 minus F(800). Das sind rund 6,7 %.“

Typischer Fehler: false statt true (liefert nur die Kurvenhöhe) oder Varianz statt σ eingeben. Und: kein „k − 1“ – mindestens 800 und mehr als 800 sind hier gleich.

7. Daten: „Lesen Sie aus dem Boxplot ab“ / „Berechnen Sie das arithmetische Mittel“ / Kreisdiagramm (25 von 62 Sets)

Beispiel (KL22_KP1_P02, Aufgabe 4 c1, KK S. 6): Boxplot der Betriebsstunden bis zum Fehler F2. „Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Interquartilsabstand ab.“

Lösungsweg:

1. Box-Ränder ablesen: \(q_1=11\,000\), \(q_3=13\,500\).
2. \(q_3-q_1=2\,500\) Betriebsstunden.
3. Mittelwert mit Häufigkeiten (KL22_KP2_P01 a1): \(\bar x=\frac{5\cdot55+20\cdot40+40\cdot5}{100}=12{,}75\) mg – GeoGebra Mean({5,20,40},{55,40,5}).
4. Kreisdiagramm: Winkel = Anteil · 360°, z. B. 8 von 16 Spielen → 180° (KL22_KP2_P02 b1).

So sagst du es mündlich: „Die Box reicht vom 1. Quartil 11 000 bis zum 3. Quartil 13 500, dazwischen liegen die mittleren 50 % der Werte. Der Interquartilsabstand ist die Differenz: 2 500 Betriebsstunden.“

Typischer Fehler: IQR (Box) mit Spannweite (Whisker, Max − Min) verwechseln; beim Mittelwert durch die Zahl der Klassen statt durch n = 100 teilen.

Formeln, die du brauchst

Formelsammlung SRDP (Stand Dezember 2022), gedruckte Seite = PDF-Seite.

GeoGebra in 5 Schritten

1. Öffnen: Ansicht → Wahrscheinlichkeitsrechner (englisch View → Probability Calculator), Reiter Verteilung.
2. Verteilung wählen: Binomial für Anzahlen („wie viele von n“), Normal für Messwerte (kg, mm, min).
3. Parameter eintippen: n und p bzw. μ und σ – mit Dezimalpunkt (0.25), Brüche wie 1/3 gehen auch.
4. Seite wählen: linksseitig \(P(X\le b)\) = höchstens, rechtsseitig \(P(a\le X)\) = mindestens, Intervall \(P(a\le X\le b)\) = von … bis (genau k: a = b = k).
5. Grenze eintippen, Ergebnis ablesen, mal 100 für Prozent, runden und die Eingabe aufschreiben. Test: n = 25, p = 0.13, Intervall 3 bis 6 → 0.6124 (Beispiel aus dem Skript A-Teil Kapitel 5).

Eingabezeile (Zahlen statt n, p, k, μ, σ einsetzen; bei deutscher Spracheinstellung heißen die Befehle Binomial, InversNormal, Mittelwert, Standardabweichung):

Mini-Training (10 Minuten)

Lösung abdecken, rechnen, vergleichen. Seite = PDF-Seite der Kandidatenfassung (KK), die Musterlösung steht in der Prüferfassung (PP).

1. KL22_KP2_P02, Aufgabe 4 a1 (KK S. 6, PP S. 11): Lena gewinnt jedes Spiel mit Wahrscheinlichkeit \(\frac13\) und spielt 10 Spiele. „Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Lena dabei mindestens 5 Spiele gewinnt.“

Kurzlösung: \(P(X\ge5)=1-P(X\le4)\), 1-BinomialDist(10,1/3,4,true) = 0,2131 ≈ 21,3 %. 2. KL26_KP1_P01, Aufgabe 4 b1 (KK S. 6, PP S. 11): 20 Edelsteine, jeder ist mit Wahrscheinlichkeit \(p_D\) ein Diamant. „Beschreiben Sie ein Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem nachstehenden Ausdruck berechnet werden kann. \(P(E)=\binom{20}{3}\cdot p_D^3\cdot(1-p_D)^{17}\)“

Kurzlösung: „Genau 3 der 20 Edelsteine in der Truhe sind Diamanten.“ 3. KL23_KP1_P04, Aufgabe 4 c1 (KK S. 6, PP S. 11): Wartezeit normalverteilt mit μ = 170 s, σ = 50 s. „Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Wartezeit für eine zufällig ausgewählte Person mehr als 240 s beträgt.“

Kurzlösung: 1-Normal(170,50,240,true) = 0,0808 ≈ 8 %.

Wenn du steckenbleibst

Schreib zuerst hin, was du sicher weißt – „X … Anzahl der …, n = …, p = …“ oder einen kleinen Baum –, das zeigt schon Verständnis und bringt dich oft selbst weiter. Übersetze dann das Signalwort in eine Grenze (höchstens 3 → \(X\le3\), mindestens 4 → \(1-P(X\le3)\)) und lass den Wahrscheinlichkeitsrechner rechnen. Jede der 3 Handlungsanweisungen zählt einzeln (6 von 12 reichen für ein Genügend): Wenn eine hakt, sag deinen Ansatz laut („ich würde …, weil …“) und mach mit der nächsten weiter.